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GFD ワークノート 時間差分スキーム 1 時間差分スキーム この章では独立変数, 従属変数がともに 1 つの常微分方程式について考える. なぜな ら 1 次元線形移流方程式も連立常微分方程式を解く問題に帰着されるからである. 7 つの時間差分スキームを具体的な常微分方程式にあてはめて, スキームの安定性 と位相の振る舞いについて考える. この章で取り上げる常微分方程式は, 振動方程 式と摩擦方程式である. dU + iωU = 0, (1) dt dU + αU = 0. (2) dt 時間差分スキームの定義 以下のような常微分方程式を考える. dU = f(U, t). (3) dt 微分方程式 (3) の解を U(t) とし, U(n?t) における近似的な解を U n と表記する. 時 間差分スキームを適用した差分式が, ∑N n+1 n?k+1 U = ak?1U k=1 + ?tf(U n+1, U n, U n?1, · · · , U n?N+1, (n + 1)?t, n?t, (n ? 1)?t, · · · , (n ? N + 1)?t) (4) と書けるとき, これを N 段階 (N-step) スキーム1 )という. すなわち, 時刻 t = (n + 1)?t の U n+1 を求める差分式に, いくつの異なる時刻の U n が現れているか, とい n+1 うことである. ak は定数であり, f はある既知の関数である. f の中に U を含ま ない差分スキームを陽的なスキーム (explicit scheme) といい, 含む差分スキームを 陰的なスキーム (implicit scheme) という. また, 段数 (stage) とは U n から U n+1 を 計算するのに関数 f を何回計算するかを表す. 1 )N レベル (N-level) スキームということもある. 2012˙1018-ogihara-02.tex 2012/10/18(荻原弘尭) GFD ワークノート 時間差分スキーム 2 1 段階 (1-step) スキーム 1 段階スキームとは, U n+1 を U n を用いて求めるスキームである. 本節で扱う 1 段 階スキームは, ? オイラースキーム (前進差分スキーム) ? 後退差分スキーム ? 台形スキーム (修正オイラースキーム) ? 松野スキーム (前進?後退スキーム) ? ホインスキーム の 5 つである. この 5 つのスキームをそれぞれ紹介し, その誤差を考察する.