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計算機演習 (櫻庭担当分) 2012 年 6 月 20 日?21 日 1 有限差分法による熱伝導方程式の数値計算 有限差分近似 ? 与えられた関数 f(x) の微分係数を任意の点 x = a で 数値的に計算したい。微分の定義式 ( ) df f(a + δ) ? f(a) = lim → dx x=a δ 0 δ において, δ を有限にして近似しようというのが, 以 下に述べる有限差分法 (?nite di?erence method) の 基本的な考え方である。 図 1: 変数の離散化のイメージ図。 ? まず計算機上で扱うことができるよう, 連続変数を離散化する必要がある (図 1 を参照)。 1. 独立変数 x を離散化し, 格子 (grid) をつくる。 2. i 番目の格子点 xi における関数の値を fi ≡ f(xi) で定義する。 3. 格子点 x = xi での f(x) の微分を, その周囲の点での関数の値 fj (j = i, i § 1, · · · ) を用いて四 則演算で近似する。 ? 等間隔に格子が形成されていて, その隣り合う格子点どうしの間隔が h であるとする。まず x = xi なる格子点のまわりで関数 f(x) をテーラー展開する。 ( ) ( ) ( ) ( ) df 1 d2f 1 d3f 1 d4f f = f + h + h2 + h3 + h4 + · · · (1) i+1 i dx 2 dx2 6 dx3 24 dx4 ( )x=xi ( )x=xi ( )x=xi ( )x=xi 2 3 4 df 1 2 d f 1 3 d f 1 4 d f f ? = f ? h + h ? h + h + · · · (2) i 1 i dx 2 dx2 6 dx3 24 dx4 x=xi x=xi x=xi x=xi これらを辺どうし足し算, 引き算することで, 1 階および 2 階微分係数の差分公式 ( )