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数理解析研究所講究録 第 1541 巻 2007 年 124-138 124 明示的なリャプノフ関数を有する差分方程式について 早稲田大学 (Waseda University) 高橋大輔 (Daisuke Takahashi) 龍谷大学 (Ryukoku University) 松木平淳太 (Junta Matsukidaira) 1 はじめに 自励的な 2 階の常微分方程式 $\ddot{y}=f(y,y)$ (1) あるいは連立 1 階の常微分方程式 $\dot{x}=f_{1}(x, y)$ , $\dot{y}=f_{2}(x, y)$ (2) を考える. 独立変数は時刻 $t$ とし, 初期値問題の初期時刻を一般性を失わずに $t=0$ としよう. 任意の初期値に対し, 時刻によらずに一定になる量, すなわち保存量 $h(y,\dot{y})$ あるいは $h(x, y)$ が存在する場合, 解は $h(y(t),\dot{y}(t))=h(y(0),\dot{y}(0))$ あるい は $h(x(t), y(t))=h(x(O), y(O))$ を常に満たす. たとえば線形振動子 $\dot{x}=-y$ , $\dot{y}=x$ (3) の場合, 保存量は $h(x, y)=x^{2}+y^{2}$ となり, 相平面内での解の軌道は図 1 のよう に保存量の等高線で与えられる. 図 1:(3) のいくつかの初期値に対する相平面内の解軌道 125 このように, 保存量は解について詳しい情報を与える重要な量である. ところで, 保存量が保存量であるのは, 連立 1 階の場合なら $\dot{h}(x, y)=h_{x}\dot{x}+h_{y}\dot{y}=h_{x}f_{1}(x, y)+h_{y}f_{2}(x, y)=0$ (4) が成り立つように (2) と $h$ が定義されているからである. では, この右辺が $=0$ でなく定符号たとえば $0$ であるとどうであろうか. こ の場合には $h$ は時刻とともに単調減少することになる. 言い換えれば, ある時刻 に $h=c$ の軌道に存在した解が, 時間がたつと $h=c’c$ の軌道に移るというこ とである. そのような状況の典型例を以下に示す [1]. 連立常微分方程式 $\dot{x}=x-y-x\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ $\dot{y}=x+y-y\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ (5) では $h(x,y)=x^{2}+y^{2}=r^{2}$ は $h=2r^{2}(1-r)$ (6) となり, $r1$ の領域でんは単調減少, $r1$ で単調増加, $r=1$ でんは保存量とな る. 解軌道は図 2 のようになり, $r=1$ の円がリミットサイクル (極限閉軌道) と なり, 任意の解軌道が時間とともにそれに巻き付いていく.