状態空間モデルの直接法による平滑化 藤幹夫.pdfVIP

KEIO ECONOMIC SOCIETY DISCUSSION PAPER SERIES No. 06-5 KESDP 06-5 状態空間モデルの直接法による平滑化? 伊 藤 幹 夫? 平成 19 年 3 月 28 日 概 要 時系列解析にあらわれる線形の状態空間モデルにおける固定区間平滑化を，カル マン?フィルタとカルマン?スムーザの組み合わせ，あるいは UD 分解フィルタのよ うな既存の逐次更新型のアルゴリズムを用いず，最小 2 乗法あるいは一般化最小 2 乗 法によって直接的に行なう解法を示す. また，その解法が伝統的なスムーザと同等で あることを，フィルタ理論全般の一般枠組み中で明らかにする． 1 はじめに Newton の言葉として伝えられる有名な言葉に，「巨人の肩に立つ」(I/We stand on shoulders of giants.) というものがある．これは Newton が，人から賛辞を浴びたとき に，自分が他人よりも遠くが見えるとすれば，それは巨人の肩に立っているからにす ぎないと, 謙虚に語ったことからきている．統計学で言えば，最小 2 乗法を発見した Gauss が，その巨人に相当する．Gauss 以降の統計学研究者は，Gauss の肩に立ち遠 くを見ているにすぎない．それは，この論文の著者も例外ではない．また，この論文 の主題と深く関わる研究で画期的な業績を上げた Kalman や Wiener，Kolmogorov， Levinson といった先達も例外ではない． Gauss (1809) は，自らが 1895 年に見出した画期的な発見を『天体運行論』(Theoria Motus) において著した．この中で，Gauss は天体の運動を記述するために必要ない くつかの変量に関するヨーロッパ各地の天文台の観測データから，誤差を修正して実 ?本稿は，内部での議論を行なうための未定稿の段階にあるディスカッション?ペーパーである．著者の承 諾なしの引用?複写は差し控えていただきたい．KEIO ECONOMIC SOCIETY DISCUSSION PAPER の いくつかは，http://www.econ.keio.ac.jp/org/kes/ja/pub/pdis.htm より無料で入手可能である． ?慶應義塾大学，経済学部，Email: ito@econ.keio.ac.jp 1 際の軌道を求める方法としての最小 2 乗法と，誤差のふるまいが従う法則としての正 規分布を明確に述べている． 計量経済学の大抵のテキストにおいて，回帰分析の基礎的な事柄を教える部分で， Gauss-Markov の定理という名前で，線形回帰モデルにおいて最小 2 乗推定量が最良 線形不変推定量 (BLUE) になるための，十分条件が示される．これにより，多くの学 習者が最小 2 乗法そのものが，応用において非常に制限的な推定方法であると考えて しまう．これは，正しくない． Gauss は，現代的に言えば，観測誤差に撹乱された信号 (観測データ) から，Kepler の法則 (正確には Newton 力学) に基づいて運行していると