時間遅れをもつ微分方程式の経済学への援用について.pdfVIP

15 時間遅れをもつ微分方程式の経済学への援用について 井　本　　伸 1 はじめに 　微分方程式や差分方程式は、動学的な分析が主流となっている現代の経済理論には無くて はならないツールである。微分方程式は、計算上の利便性から、差分方程式はコンピュータ での計算のしやすさから、使い分けが行われている。 　通常の微分方程式では、時間遅れ（すなわち数期前の状態が現在の状態に影響を与える） 1 を記述することが出来ない 。差分方程式ならば時間遅れを表現することはいくらでも可能で あるが、その性質を分析することは非常に困難である。もちろん、コンピュータを用いれ ば、数値的な回答はいくらでも得られるが、理論モデルにおける解釈が難しい。そこで、時 間遅れをもつ微分方程式が登場する。 　時間遅れをもつ微分方程式とは、微分方程式と差分方程式が混合されている関数方程式で あり、その理論は非常に複雑である。経済学への応用については、Kalecki(1935) など古く から存在するが、生物学などの分野に比べて数はあまり多くない。 　本研究ノートでは、時間遅れをもつ微分方程式に関する基礎的な理論と直観的な解釈を説 明し、経済学への援用について考察を行う。 　経済学で微分方程式?差分方程式を用いて分析を行う場合、自励系の線形常微分方程式が ほとんどである。なぜなら、分析の中心が、ショックによる均衡（または定常状態）からの 乖離があった場合の挙動であるため、均衡の近傍で線形近似を行うからである。したがっ て、本研究の扱う時間遅れをもつ微分方程式も、自励系の線形常微分方程式のみとする。 2 差分方程式か微分方程式か 　Turnovsky(1977) や置塩 (1982) では、経済モデルの分析において、差分方程式と微分方程 1　例えば、数期前の状態が現在の状態に影響を与える例として、「捕食者と被食者の関係」「シャワーの温 度調節」などが挙げられる。 16 Vol. 15　　No. ２ 2 式のどちらを使用すべきかが議論されている 。Turnovsky(1977) では微分方程式の使用を支 持しているのに対し、置塩 (1982) では、差分方程式による分析の方が比較的優れていると 結論づけている。 　置塩 (1982) が挙げる両者の違いは、(1) 数学的処理の容易さの問題 (2) 意思決定のタイミ ングの問題 (3) 本来的な時間単位とは何かという問題 (4) 用いる時間単位の長さが固定であ るという問題 (5) ストックとフローの問題の 5 つである。 　まず、(5) のストックとフローの問題を考える。フロー変数とは一定期間で測った変数で あり、一時点で測った変数であるストック変数の一定期間の変化の大きさとして記述され る。例えば、経済成長モデルの最も基本的なモデルであるソローモデルを、差分方程式で記 述すると、 資本減耗率として、 となる。左辺の k はストック変数であり、右辺の はフロー変数である。これは、t から t +1 までの 1 期間におけるストック変数 k の変化の大きさがフロー変数である貯蓄額 と減耗分という意味であるから、ストックとフローを正確に記述している。 　対して、微分方程式では、 となる。右辺は同じであるが、左辺の意味するところは k の瞬間的な「速度」であり、期間 に関する記述がない。 ところが、微分の定義からこの式を書き直してみると、 であるから、差分方程式の 1 期間に対応するのが　 期間ということである。しかし、この