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数理解析研究所講究録 第 1645 巻 2009 年 177-188 177 音響設計のための時間領域差分法の高精度化 Improvement of Finite-di?erence Time-domain Method for Acoustic Design 鶴秀生 (日東紡音響エンジニアリング), 岩津玲磨 (東京電機大学) TSURU, Hideo (Nittobo Acoustic Engineering Co. Ltd.) IWATSU, Reima(Tokyo Denki University) ABSTRACT: The ?nite di?erence method in time domain is often used in wave acoustic simulations. The accuracy of this method depends on numerical dissipation and dispersion caused by a ?nite di?erence and a time integration. A compact ?nite di?erence can reduce numerical dispersion of space derivative. Therefore, an optimization of the compact ?nite di?erence is investigated. In order to improve the time integration scheme, a symplectic integration technique is adopted and excellent long time behavior is obtained. 1 はじめに 波動音響数値計算を実務的な音響設計に適用する場合、 波長に比べて大きな空間に対 し、周期に比べて長時間の計算を行う必要があるので、 効率的な解析手法が必要とされ る。差分法は微分方程式中の微分を直接差分で置き換えるため、物理モデルから数値モデ ルへの移行が比較的容易である。そこで時間領域差分法 (FDTD) の精度向上手法を調べ た。 比較的大きな格子間隔でも精度よい解析ができるコンパクト差分において、係数を最 適化して数値分散を抑えることを試みた 1,2)。時間積分精度の改良法として、多段階積分 法と Symplectic 積分についての検討した 3-7)。格子間隔を波が伝搬する時間に比べて大 きな時間間隔で安定な計算を行えるようにするために空間フィルタの適用方法について検 討した。数値分散が音圧分布やインパルス応答の予測結果へ与える影響について調べた。 2 差分法の基礎方程式と空間コンパクト差分の最適化 音波の伝搬を考える場合、圧力変動 $p$ と速度ベクトル $v$ を連立させる方法が差分法では 一般??である。 空気吸収その他の影響を無視した、音波伝搬の基礎方程式は $\rho_{0}\frac{\partial v}{\partial t}=-\nabla p$ , $\frac{\partial p}{\partial t}=-\rho_{0}c^{2}divv+\rho_{0}c^{2}Q$ (1) $Q$ となる 8)。ここで は体積速度、 $\rho_{0}$ は平 均密度、 $c$ は音速である。 この微分方程 式は単純であるが、 そのことは必ずしも 数値計算が簡単なことを意味しているわ けではない。 なぜならわずかな誤差が減 衰せずに増大する恐れがあるからである。 なお、これらの方程式を差分化する場合、 Fig 1 のようなスタガード格子上で計算さ れることが多い。 Fig.1 Staggered Grid