微分周形式与稀疏微分结式.PDFVIP

中国科学 : 数学 2014 年 第 44 卷 第 3 期 : 211 ～ 220 优秀博士学位论文专栏 微分周形式与稀疏微分结式 李伟 中国科学院数学与系统科学研究院, 北京 100190 E-mail: liwei@ 指导教师: 高小山 中国科学院数学与系统科学研究院 收稿日期: 2013-07-19; 接受日期: 2013-07-31 国家重点基础研究发展计划 (973 计划) (批准号: 2011CB302400) 和国家自然科学基金 (批准号: 资助项目, 本学位论文 荣获 “2013 年中国科学院优秀博士学位论文” 摘要 代数周 (Chow) 形式和代数结式是代数几何的基本概念, 同时还是消去理论的强大工具. 一个 自然的想法是在微分代数几何中发展相应的周形式和结式理论. 但是由于微分结构的复杂性, 在本文 的研究工作之前, 微分结式只有部分结果, 而微分周形式与稀疏微分结式理论一直没有得到发展. 本文 的主要结果包括: 第一, 发展一般 (generic) 情形的微分相交理论, 作为应用, 证明一般情形的微分维数 猜想. 第二, 初步建立微分周形式理论. 对不可约微分代数簇定义微分周形式并证明其基本性质, 特别 地, 给出微分周形式的 Poisson 分解公式, 引入微分代数簇的主微分次数这一不变量并证明一类微分 代数闭链的周簇和周坐标的存在性. 作为应用, 首次严格定义微分结式, 证明其基本性质. 第三, 初步 建立稀疏微分结式理论. 引入 Laurent 微分本性系统的概念, 定义稀疏微分结式, 证明其基本性质, 特 别地, 引入微分环面簇的概念, 给出稀疏微分结式阶数和次数界的估计, 并基于此给出计算稀疏微分 结式的单指数时间算法. 关键词 微分周形式 微分周簇 微分相交理论 稀疏微分结式 Laurent 微分本性系统 MSC (2010) 主题分类 12H05, 14C05 1 引言 本文是作者的博士学位论文 [1] 的一个简要介绍. 由于篇幅限制, 本文略去所有证明, 有兴趣的 读者可参见原论文. 文中关于微分周形式的主要结果最早发表于文献 [2,3], 而关于稀疏微分结式的主 要结果可参见文献 [4, 5], 其中文献 [4] 在 2011 年 ISSAC (International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation) 国际会议上荣获国际计算机协会 (ACM) 符号与代数计算专业委员会颁发的 唯一 “ISSAC 杰出论文奖”. 在完成博士论文之后, 我们又将稀疏结式理论推广到差分情形, 具体可参 见文献 [6]. 周形式是代数几何的一个基本概念. 20 世纪 30 年代, Chow 和 van der Waerden [7] 建立了代数 周形式理论, 之后, 周形式及其与之相关的周坐标、周簇和周环成为代数几何的重要工具 [7, 8]. 近年来, 周形式也已成为消去理论的强大工具, 并在数学研究与算法设计方面都有着重要的应用. 例如, Wu [9] 通过周形式对有任意奇点的代数簇定义了陈省身示性类与示性数; Nesterenko [10] 和 Philippon [11] 以 英文引用格式: Li W. Di?erential Chow form and sparse di?erential resultant (in Chinese). Sci Sin Ma