数值模拟导论——第十三讲.PDF

数值模拟导论——第十三讲 多步法收敛性 Jacob White 合作伙伴Deepak Ramaswamy, MichalRewienski, and Karen Veroy 概要 多步法的小时间步问题 局部切断误差 选择系数 不收敛法 稳定并连续则收敛 下一章讨论大时间步问题 两个时间刻度实例的绝对稳定性 震荡器 基本方程式 多步法 通用符号 d xt()= f() xt, ut () () 非线性差分方程 dt kk 步法： ??lj?? lj k ∑∑axjjlj=? tβ f() x, ut()? jj==00 多步法系数 离散点的解 时间离散化 基本方程式 多步法 通用算法 kk ??lj?? lj 多步法方程： ∑∑axjjlj=? tβ f() x, u() t? jj==00 前欧拉近似法： xt( ll)≈? xt( ???111) tfxt( ( ll), ut( )) 前欧拉离散方程： ll??11 l xx???=? tfxut( ?, ()l?1 ) 多步法系数： k =1, α01==?==1, αββ 1, 010, 1 后欧拉法离散方程： ll?1 l xx???=? tf (xut ?, ()l ) 多步法系数： k =1, α01==?==1, αββ 1, 011, 0 捕捉法离散方程： ll??11?t l l x???= x( fxut() ?,,()ll fx() ? , ut()?1 ) 2 11 多步法系数： k =1, αα==?=1, 1, β β , = 01 022 1 基本方程式 多步法 定义及考察 kk ??lj?? lj 多步法方程： ∑∑axjjlj=? tβ f() x, u() t? jj==00 1）若 β ≠ 0 则多步法是绝对的 2）k步法在 xs和 f s之前用到k 3）需要范数化，都有 α0＝1 4）k步法有2k＋1个自由系数 需要高的精度时如何选择合适的系数？ 简化问题分析 多步法 d 标量 ： vt()=λλ vt, v0 ()=∈ v0 (C ) ODE dt 为什么会出现这样的简单测试问题？ z非线性分析有很多微妙的现象没有揭示 z对于多步法标量等同于矢量 d kk 多步法离散化 ??lj? lj? xt()=?=? Axt () ∑∑ axjj tβ x dt