用差分法计算柱坐标系的拉普拉斯方程.PDFVIP

用差分法计算柱坐标系的拉普拉斯方程 梁志辉 （内蒙古民族大学 物理与电子信息学院，内蒙古 通辽 028043） 摘要：用数值法中最常用的有限差分法计算柱体三维静电场的拉普拉斯方程，计算有限网 格点上的函数值近似逼近连续区域内的真实解，在计算机的辅助下，计算出电磁场的数值 解。 关键词：有限差分法；数值计算；拉普拉斯方程 1 引言 关于电磁场的很多问题可抽象成拉普拉斯方程的边值问题，大部分问题不适 用解析方法，需要用数值计算法，其中有限差分法是一种一般方法。本文将通过 有限差分法计算柱体三维静电场的拉普拉斯方程。解析解与数值解进行比较，数 值解近似等于解析解。 2 理论 2.1 柱坐标下的拉普拉斯方程 ? 2U ? 2U 1 ?U 1 ? 2U ΔU = + + + = 0 （1） ?z 2 ?r 2 r ?r r 2 ?θ 2 2.2 柱坐标下拉普拉斯方程的差分格式 在圆柱坐标中取等间距网格， Δz = h,Δr = k,Δθ = τ 。则将 U 在空间中任意一点 （ z0 ,r0 ,θ 0 ）按泰勒级数展开 ?U 1 ? 2U 1 ? 3U U = U = U ? ( ) h + ( ) h 2 ? ( )h3 + (z0 ?h,r0 ,θ0 ) 1 0 0 2 0 3 L ?z 2 ?z 6 ?z ?U 1 ? 2U 1 ? 3U U = U = U + ( ) h + ( ) h 2 + ( )h3 + (z0 +h,r0 ,θ0 ) 2 0 0 2 0 3 L ?z 2 ?z 6 ?z ?U 1 ? 2U 1 ? 3U U = U =U ?( ) k + ( ) k 2 ? ( )k 3 + ( z0 ,r0 ?k,θ0 ) 3 0 0 2 0 3 L ?r 2 ?r 6 ?r ?U 1 ? 2U 1 ? 3U U =U = U + ( ) k + ( ) k 2 + ( ) k 3 + (z0 ,r0 +k,θ0 ) 4 0 0 2 0 3 0 L ?r 2 ?r 6 ?r 1 ?U 1 ? 2U 1 ? 3U U = U = U + ( ) τ + ( ) τ 2 + ( ) τ 3 + ( z0 ,r0 ,θ0 +τ ) 5 0 0 2 0 3 0 L ?θ 2 ?θ 6 ?θ ?U 1 ? 2U 1 ? 3U U = U = U ? ( ) τ + ( ) τ 2 ? ( ) τ 3 + （2） (z0 ,ro ,θ0 ?τ ) 6 0 0 2 0 3 0 L ?θ 2 ?θ 6 ?θ 由上式得