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递推数列问题的解决与延伸
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递推数列问题的解决与延伸
已知数列{an},a1=a,an+1=pan+q(p≠1,q≠0是常数),求数列{an}的通项公式an,是高中常见的递推数列问题.
这类数列通常可转化为,或消去常数转化为二阶递推式,或归纳猜想证明.
例1.已知数列中,,求的通项公式.
解析:解法一.(待定系数法)转化为型递推数列.
∵∴又,故数列{}是首项为2,公比为2的等比数列.∴,即.
解法二.(差分法形成差数列)转化为型递推数列.
∵=2an+1(n≥1) ① ∴=2an+1+1 ②
②-①,得(n≥1),故{}是首项为a2-a1=2,公比为2的等比数列,即,再用累加法得.
解法三.用迭代法.
解法四.归纳猜想证明法.
,
猜想:.用数学归纳法证明(证明略).
这类递推数列解决后, 其他类型的递推可以转化并解决.
类型一:
这类数列可变换成,令,则转化为型.
例2.设数列求数列的通项公式.
解析:∵,两边同除以,得.令,则有.于是,得,∴数列是以首项为,公比为的等比数列,故,即,从而.
类型二:
若取倒数,得,令,从而转化为型.
例3. 已知数列中满足,,求数列的通项.
解:数列 中, ,
,即
数列是以公差为3的等差数列.
类型三:
这类数列可取对数得,从而转化为数列.
例4. 已知数列中满足,求数列的通项.
解: ,
是以为首项,5为公比的等比数列.
类型四:可转化为
例5.设数列求数列的通项公式.
分析: 设法把分给.转化为
解:由可得
设
故即用累加法得
解决这类问题,还可使用下面的定理
定理:在数列中, ,为初始值.它的特征方程的两根为,则(1)当时,;(2)当时.(证明略)
解法2: 递推关系对应的特征方程为:
则
由得:
例6:在数列求数列的通项公式.
解:令使数列是以 为公比的等比数列(待定).
即∴对照已给递推式, 有即的两个实根.
从而
∴ ①
或 ②
由式①得;由式②得.
消去.
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