递推数列问题的解决与延伸.docVIP

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递推数列问题的解决与延伸

PAGE  PAGE 4 递推数列问题的解决与延伸 已知数列{an},a1=a,an+1=pan+q(p≠1,q≠0是常数),求数列{an}的通项公式an,是高中常见的递推数列问题. 这类数列通常可转化为,或消去常数转化为二阶递推式,或归纳猜想证明. 例1.已知数列中,,求的通项公式. 解析:解法一.(待定系数法)转化为型递推数列. ∵∴又,故数列{}是首项为2,公比为2的等比数列.∴,即. 解法二.(差分法形成差数列)转化为型递推数列. ∵=2an+1(n≥1)  ①  ∴=2an+1+1  ② ②-①,得(n≥1),故{}是首项为a2-a1=2,公比为2的等比数列,即,再用累加法得. 解法三.用迭代法. 解法四.归纳猜想证明法. , 猜想:.用数学归纳法证明(证明略). 这类递推数列解决后, 其他类型的递推可以转化并解决. 类型一: 这类数列可变换成,令,则转化为型. 例2.设数列求数列的通项公式. 解析:∵,两边同除以,得.令,则有.于是,得,∴数列是以首项为,公比为的等比数列,故,即,从而. 类型二: 若取倒数,得,令,从而转化为型. 例3. 已知数列中满足,,求数列的通项. 解:数列 中, , ,即 数列是以公差为3的等差数列. 类型三: 这类数列可取对数得,从而转化为数列. 例4. 已知数列中满足,求数列的通项. 解: , 是以为首项,5为公比的等比数列. 类型四:可转化为 例5.设数列求数列的通项公式. 分析: 设法把分给.转化为 解:由可得 设 故即用累加法得   解决这类问题,还可使用下面的定理 定理:在数列中, ,为初始值.它的特征方程的两根为,则(1)当时,;(2)当时.(证明略) 解法2: 递推关系对应的特征方程为: 则 由得: 例6:在数列求数列的通项公式. 解:令使数列是以 为公比的等比数列(待定). 即∴对照已给递推式, 有即的两个实根. 从而 ∴  ① 或  ② 由式①得;由式②得. 消去.

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