2014高考数学必考点解题方法秘籍定点定线定值理技术总结.doc

PAGE  PAGE - 22 - 2014高考理科数学必考点解题方法秘籍：定点定线定值 1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为． （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标． 【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为 ， (II)设，由得， ，. 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点，， (最好是用向量点乘来)， ， ，解得，且满足. 当时，，直线过定点与已知矛盾； 当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为 2.已知椭圆过点，且离心率。 （Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）若直线与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。 解：（Ⅰ）离心率，，即（1）； 又椭圆过点，则，（1）式代入上式，解得，，椭圆方程为。 （Ⅱ）设，弦MN的中点A 由得：， 直线与椭圆交于不同的两点， ，即………………（1） 由韦达定理得：， 则， 直线AG的斜率为：， 由直线AG和直线MN垂直可得：，即，代入（1）式，可得，即，则。 3.过抛物线（＞0）上一定点＞0），作两条直线分别交抛物线于，，求证：与的斜率存在且倾斜角互补时，直线的斜率为非零常数． 【解析】设直线的斜率为，直线的斜率为． 由 相减得， 故 同理可得， 由倾斜角互补知： ∴ ∴ 由 相减得， ∴ ∴直线的斜率为非零常数． 题型：动弦过定点的问题 例题5、（07山东理）已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1； （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线过定点，并求出该定点的坐标。 分析：第一问，是待定系数法求椭圆的标准方程；第二问，直线与椭圆C相交于A，B两点，并且椭圆的右顶点和A、B的连线互相垂直，证明直线过定点，就是通过垂直建立k、m的一次函数关系。 解（I）由题意设椭圆的标准方程为 ， （II）设，由得 ， ， （注意：这一步是同类坐标变换） （注意：这一步叫同点纵、横坐标间的变换） 以AB为直径的圆过椭圆的右顶点且， ，， ， ，解得，且满足 当时，，直线过定点与已知矛盾； 当时，，直线过定点 综上可知，直线过定点，定点坐标为 练习1.直线和抛物线相交于A、B，以AB为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线过定点，并求定点的坐标。 分析：以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，则OAOB，若设，则，再通过，将条件转化为，再通过直线和抛物线联立，计算判别式后，可以得到，，解出k、m的等式，就可以了。 解：设，由得，，（这里消x得到的） 则………………（1） 由韦达定理，得：， 则， 以AB为直径的圆过抛物线的顶点O，则OAOB，即， 可得，则， 即，又，则，且使（1）成立， 此时，直线恒过点。 名师指点：这个题是课本上的很经典的题，例题5、（07山东理）就是在这个题的基础上，由出题人迁移得到的，解题思维都是一样的，因此只要能在平时，把我们腾飞学校老师讲解的内容理解透，在高考中考取140多分，应该不成问题。 本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？ 例题6、已知点A、B、C是椭圆E： 上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且，，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线对称，求直线PQ的斜率。解：(I) ，且BC过椭圆的中心O又点C的坐标为。A是椭圆的右顶点，，则椭圆方程为：将点C代入方程，得，椭圆E的方程为(II) 直线PC与直线QC关于直线对称，设直线PC的斜率为，则直线QC的斜率为，从而直线PC的方程为：，即，由消y，整理得：是方程的一个根，即同理可得：＝＝＝则直线PQ的斜率为定值。方法总结：本题第二问中，由“直线PC与直线QC关于直线对称”得两直线的斜率互为相反数，设直线PC的斜率为k，就得直线QC的斜率为-k。利用是方程的根，易得点P的横坐标：，再将其中的k用-k换下来，就得到了点Q的横坐标：，这样计算量就减少了许多，在考场上就节省了大量的时间。 接下来，如果分别利用直线PC、QC的方程通过坐标变换法将点P、Q的纵坐标也求出来，计算量会增加许多。直接计算、，就降低了计算量。总之，本题有两处是需要同学们好好想一想，如何解决