高二竞赛讲义函数迭代与函数方程4教材.doc

 PAGE \* MERGEFORMAT 12 高二数学竞赛班一试讲义 第4讲 函数迭代与函数方程 班级 姓名 一、知识要点： 1．函数迭代：对于函数， 令，我 们将称为函数的次迭代。 思考：设，则，，，转化为数列递推。 2．函数方程：将含有未知函数的等式称为函数方程. 3．HYPERLINK /v364581.htm?ch=ch.bk.innerlink柯西方法解HYPERLINK /v7735510.htm?ch=ch.bk.innerlink函数方程的步骤是：先求出对于自变量取所有自然数时函数方程的解具有的 形式，然后依次证明对自变量取整数值、有理数值以及实数值时函数方程的解仍具有这 种形式，从而得到函数方程的解。这种思维又叫“爬坡式推理”。 定理（柯西函数方程的解） 若是单调连续函数且满足，则 证明：由题设不难得 取，得 令，则，解得 （1） 令，则 令，则，得 (2) 令，由，得 (3) 由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数均有。 另一方面，对于任意的无理数，因连续，取以为极限的有理数序列，则有： 综上所述，对于任意实数，有 4．递推法函数方程. 二、例题精析 例1．设，且  eq \o\ac(○,1) 求.（第32届美国普特南数学竞赛题） 例2．（1）设，令，求的表达式． （2）设，令，求的表达式． 例3．用柯西方程解下列（单调连续）函数方程： （1），； （2），； （3），且。 例4．求所有的正实数对，使得函数满足：对任意实数，有 。（2013年高中数学联赛） 例5．设定义在[0，2]上的函数满足下列条件： ①对于，总有，且，； ②对于，若，则． 证明：（1）（）； （2）时，． 三、精选习题 1．设满足则的值域是 ． 2．已知函数满足：，， 则____________. 3．设，而，．记，则 ． 4．设，记，则 ． 5. 设，记，则 ． 6．已知为一次函数，且，则 ． 7．用柯西方程解函数方程 （1），求； （2）求. 8．已知函数。若对于任意，有恒成立，求实数的 取值范围。 9．已知函数且任意的、都有 ，求的表达式. 10．（2004年高中联赛试题）设函数，满足，且，都有 （1） 求. 11．已知定义域为的函数同时满足： （1）对于任意，总有； （2）； （3）若，，，则有。 （Ⅰ）试求的值； （Ⅱ）试求函数的最大值； （Ⅲ）试证明：满足上述条件的函数对一切实数，都有。 高二数学竞赛班一试讲义 第4讲 函数与函数方程 例1．解 从原方程的形式可以看出，作变量代换是有作用的，带入 eq \o\ac(○,1)得 ，把这个式子中的改写成，得  eq \o\ac(○,2) 再令，代入 eq \o\ac(○,1)得 把换成，又得  eq \o\ac(○,3) 把 eq \o\ac(○,1)， eq \o\ac(○,2)， eq \o\ac(○,3)联立，就可以看成是一个关于的三元一次方程组。  eq \o\ac(○,1)+ eq \o\ac(○,2)- eq \o\ac(○,3)解之，可得 经验证这个函数满足原函数方程。 例2．（1）一般地，若，则把它写成， 因而 …… 这里的就是方程的根．一般地，方程的根称为函数的不动点． 如果是函数的不动点，则也是的不动点．可用数学归纳法证明．利用不动点能较快地求得函数的次迭代式． （2）解：， 则， 易为，得，（定义），所以， ， 从而，． 例1．（1）我们首先证明由所给的函数方程得知 这就是说，对于x的任何实数值，f (x)的值是非负数. 我们进一步证明，对于x的任何实数值，f (x)不能是零. 实际上，一旦存在某个x0，能使f (x0)=0. 那末f (x)将恒等于零. 这是因为 这样一来，就与我们在本节初对f (x)的单调性要求相矛盾了. 总之，对于任何实数x，总有 在所给的函数方程两边同时取对数，即得 设，就有 这样就把原函数方程化成了柯西方程. 柯西方程的解是正比例函数 ∴ 即，这里，. （2）因函数的定义域