§3.4定积分答题.docx

§3.4　定积分 1．用化归法计算矩形面积和用逼近的思想方法求出曲边梯形的面积的具体步骤为分割、近似代替、求和、取极限． 2．定积分的定义 如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点将区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式eq \o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(ξi)Δx.当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，记作?eq \o\al(b,a)f(x)dx. 3．定积分的运算性质 (1)?eq \o\al(b,a)kf(x)dx＝k?eq \o\al(b,a)f(x)dx (k为常数)． (2)?eq \o\al(b,a)[f1(x)±f2(x)]dx＝?eq \o\al(b,a)f1(x)dx±?eq \o\al(b,a)f2(x)dx. (3)?eq \o\al(b,a)f(x)dx＝?eq \o\al(c,a)f(x)dx＋?eq \o\al(b,c)f(x)dx (acb)． 4．微积分基本定理 一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么?eq \o\al(b,a)f(x)dx＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F(b)－F(a)记为F(x)|eq \o\al(b,a)，即?eq \o\al(b,a)f(x)dx＝F(x)|eq \o\al(b,a)＝F(b)－F(a)． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则?eq \o\al(b,a)f(x)dx＝?eq \o\al(b,a)f(t)dt.(　√　) (2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则?eq \o\al(b,a)f(x)dx0.(　√　) (3)若?eq \o\al(b,a)f(x)dx0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(　×　) (4)若f(x)是偶函数，则?eq \o\al(a,－a)f(x)dx＝2?eq \o\al(a,0)f(x)dx.(　√　) (5)若f(x)是奇函数，则?eq \o\al(a,－a)f(x)dx＝0.(　√　) (6)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是?eq \o\al(1,0)(x2－x)dx.(　×　) 1．(2014·陕西)定积分?eq \o\al(1,0)(2x＋ex)dx的值为(　　) A．e＋2 B．e＋1 C．e D．e－1 答案　C 解析　?eq \o\al(1,0)(2x＋ex)dx＝(x2＋ex)|eq \o\al(1,0)＝e.故选C. 2．(2013·湖北)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋eq \f(25,1＋t)(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(　　) A．1＋25ln 5 B．8＋25ln eq \f(11,3) C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2 答案　C 解析　令v(t)＝0得t＝4或t＝－eq \f(8,3)(舍去)， ∴汽车行驶距离s＝?eq \o\al(4,0)(7－3t＋eq \f(25,1＋t))dt ＝(7t－eq \f(3,2)t2＋25ln(1＋t))|eq \o\al(4,0) ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5. 3．(2013·湖南)若?eq \o\al(T,0)x2dx＝9，则常数T的值为________． 答案　3 解析　?eq \o\al(T,0)x2dx＝eq \f(1,3)x3|eq \o\al(T,0)＝eq \f(1,3)×T3＝9. ∴T3＝27，∴T＝3. 4．由y＝cos x及x轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为________________________________________________________________________． 答案　 解析　如图： 阴影部分的面积为 题型一　定积分的计算 例1　(1)设f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，　　x∈[0，1]，,2－x， x∈?1，2]，))则?eq \o\al(2,0)f(x)dx等于(　　) A.eq \f(