高中数列通项求法大全教材.doc

递推数列通项公式的求法 各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。 数列是近几年高考中的重点，难点，也是热点。所占分值约为12％--16％，并在解答题中必有一道且往往是以压轴题的形式出现，可见其重要性非同一般。从近几年高考数列题中不难发现，大部分试题都与通项公式有关，也进一步说明数列通项公式求法的重要性。当前我认为掌握了数列通项公式应是研究数列其它性质的重要前提，也会使我们解决数列相关问题变得更简单化。 高考大纲中也明确提出：要了解数列通项公式的意义，能根据数列递推公式求出通项公式并能解决简单的实际问题。据发现，很多学生学完了数列这章后总会感到数列很难，尤其是对数列通项公式求法感到很棘手。 一、求递推数列的常用方???和技巧 特殊方法： 1.公式法 2.累差法 3.累乘法 4.迭代法 5.倒数代换法 6.对数代换法 7.待定系数法 8待定函数法 8.特征方程法（含不动点法） 9.解方程组法 10.数学归纳法 11.换元法(含三角代换) 12．分解因式法 通用方法：(大神级方法) 13.母函数法（也叫级数法）（适合实验班数学高手，或者大学生，高中教师学习掌握。这种方法十分强大，比如像著名数列卡特兰数列递推公式都直接被母函数秒杀） 14.病灶分析法（自己发明的思维方法，名字起得不好听，呵呵。这种面向对象的思维方式非常好能激发学生的分析问题的能力！） 15.函数迭代法（详见附录一）（里面有 “算子代数”模型研究结果，难度较大，适合老师学习。这种方法威力极其强大，能算出极其难算的数列通项，适用范围这种一阶问题） 二、高考数学递推数列的常见类型 类型1.型的 类型2.递推公式为 类型3.递推公式为 类型4.递推公式为（其中p，q均为常数，）。 类型5. 递推公式为 类型6递推公式为 类型7.递推公式为 类型8. 递推公式为（其中p，q均为常数）。 类型9.递推公式为型（特别的情形是：） 类型10.型 类型11. 双数列型 递推公式为确定,. 类型12. 递推公式为 类型13.其他类型 类型14..循环数列 三、各类型求解方法 类型1.型的 这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。 例题1． 已知数列的前n项和Sn满足 (Ⅰ)写出数列的前3项 (Ⅱ)求数列的通项公式; 分析：---------------① 由得----------------② 由得，，得--------------③ 由得，，得---------④ 用代得 -----------⑤ ①—⑤： 即----------------------------⑥ ---------------------------⑦ 解法二： 母函数法（这个通法用在这个题目上比较麻烦，这里仅仅是显示下母函数法的解题过程），母函数的优势在本题中体现不出来，但是作为通法，它有巨大价值！ -------------------------------- eq \o\ac(○,1) --------------------------- eq \o\ac(○,2) 设，待定系数，用赋值法建立方程组解得： 解法三：（病灶分析法）仅仅阐述我的一种思维方式，并没有固定格式： -------------------------------- eq \o\ac(○,1) 我们来看一看这个递推公式，如果没有中的2，那我们都会做了，直接用累加法做即可，现在这个中的2，就是所谓的“病灶”，下面我们来消灭它！ （注明：书写方便起见，我直接采用“横式累加法”） 解法四：（病灶分析法） -------------------------------- eq \o\ac(○,1) 我们来看一看这个递推公式，如果没有，那我们都会做了，直接就是等比数列了，直接秒杀，现在这个，就是所谓的“病灶”，下面看我消灭它！ 我们用“函数撕裂”的思想把这个撕开，分别配到左边和右边： ，比较系数得到 ，就是等比数列了，而且公比是2，轻易算得： 解法五：（病灶分析法） -------------------------------- eq \o\ac(○,1) 和面一样，还是选取为病灶，不同的是，前面对病灶的处理，相当于对“病灶改良”把病灶规范化，相当于一个得了癌症的人，治疗以后带瘤生活。现在我换一种处理方法，就是直接把这个病灶，“肿瘤”给它割掉！ ---------------------------------- eq \o\ac(○,2) ---------------