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PAGE  PAGE 21 Mathematica 计算程序见 2008-01-02.nb CUMCM-2003 D题 抢渡长江 “渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。 2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。 2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃, 江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。 假设在竞渡区域两岸为平行直线, 它们之间的垂直距离为 1160 米, 从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为 1000米，见示意图。 1160m 1000m 长江水流方向 终点: 汉阳南岸咀 起点: 武昌汉阳门 请你们通过数学建模来分析上述情况, 并回答以下问题: 1. 假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为 1.89 米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。 在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游, 他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年 和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。 若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向) ： 游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。 4. 若流速沿离岸边距离为连续分布, 例如 或你们认为合适的连续分布，如何??理这个问题。 用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。 你们的模型还可能有什么其他的应用？ (本题素材由华中农业大学殷建肃提供、全国组委会成员北京理工大学叶其孝拟就) y x L 0 H q u v 图1 变分法在解CUMCM-2003 D题(抢渡长江)中的应用 我们在这里给出的解法和 孙冬梅，变分法在求解最速渡江路线问题的应用，高等数学研究，v. 8(2005), no. 6, 55-59 的文章类似. 问题是要求出游泳路径(轨迹) (或者)使得既能达到终点,而且所用的时间最少，即 设水流速度和x轴的正向一致，是游泳者的速度，它们的合速度为，如图1所示 y x L 0 H q u v 图1 1. 模型的建立 由图1可知 记，简记为。 由于 ， 由于 ， ， 所以， 由于， 所以 因此如果已知游泳者的游泳路径(轨迹)为 的话，要游到对岸指定地点所需要的总时间 ，即 (2.4.3 – 1) 本问题就是要求所有可能的路径中时间花得最少的路径，其数学模型为 (2.4.3 – 2) 2. 模型的求解 记 (2.4.3 – 1) 的被积函数为 (2.4.3 – 3) (2.4.3 – 3) 的右端不包含，因此由变分法知道其 Euler 方程为 (2.4.3 – 4) 因为不包含，所以 ，因此 ， 为常数，前面加负号仅仅是为了方便。而 ， (*) 从而 (2.4.3 – 5) 现在分两种情况来讨论。 A. 均为常数，则由 (2.4.3 – 5)，有 ，为常数，由边界条件 ，求得 ，即游泳者的游泳路径(轨迹)为直线。具体数值计算从略。如果起终点的坐标为，则该直线的方程为。。由 (2.4.3 – 1) B. 若 的单位为米/秒，的单位为米。假设在 [0, 200] 段游泳者游到 (由对称性知道) 在 [960, 1160] 段游泳者游到 . 我们已经知道在 [200, 960] 段游泳者游的路径是直线(因为 均为常数)。因此，我们只需要在[0, 200] 段上研究游泳者游的路径。由于 (2.4.3 – 1)，我们知道 (2.4.3 – 6) 记 则有 (2.4.3 – 7) 若 (否则游泳者游的路径是直线)，相应于(2.4.3 – 2)的变分问题的Euler 方程为 和前面一样，因为 不包含 ，所以 ，因此 ， 为常数。 (2.4.3 – 8)