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向量的坐标表示及其运算（第一课时） 学习目标： 1、了解平面向量的正交分解及其坐标表示，理解平面向量的坐标概念，掌握向量的坐标运算。 2、通过向量的几何表示、字母表示和坐标表示之间转化，体现向量的几何与代数的双重属性。 重点难点 向量的正交分解、坐标表示。 教学过程 一、概念新授 x y O X X M N A X 1、向量的坐标表示 平面内的任一向量可通过研究其相等的位置向量来实现。 位置向量即为起点为原点的向量，如图。 在平面直角坐标系中，与x轴、y轴方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量，记作和。 平面直角坐标系的点有唯一的有序实数对对应，它在x、y轴上的投影分别为M、N，则，又因为，， 点 一一对应 位置向量 唯一对应 则，这个和式称为的线性组合。这种表示方法叫做向量的正交分解。因此与所有与相等的，即为向量的坐标。 说明（1）位置向量对应的相等的向量有无数个，这无数个向量都可以用位置向量的坐标表示，而位置向量与终点坐标之间是一一对应的。 （2）向量的两种表示：正交分解， 坐标表示，这里的x、y是位置向量终点的坐标。 （3）特殊向量的坐标：，，。 （4）两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等。 2、向量运算的坐标表示 ，，则 （1）； （2）； （3）； （4）的单位向量。 若、，则 ， 终点减去始点 。 即为两点间距离公式。 二、例题精讲 例1．课本P56 例1 变式：（1）求出的坐标；（2）求出的单位向量的坐标。 解：略 注意：1、向量坐标有两种求法，1）找位置向量的终点；2）两点间的向量。 2、求的单位向量，先求的模，再将每个坐标除以模即可。 例2. 课本P56 例2 变式：若A、B、C是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D的坐标。 解：设， 1）若ABCD是平行四边形，则，则，则； 2）若ACBD是平行四边形，则，解得； 3）若ABDC是平行四边形，则，解得。 注意：1、原题中平行四边形ABCD中字母的顺序是确定的，此时只有一解，而变式中是不确定的，因此有三解。 2、利用平行四边形中的存在向量相等求解顶点的坐标。 例3．已知、，且， （1）当为何值时，点在???上； 变式：点在第二象限上。 （2）OABP是否构成平行四边形？为什么？ 解：（1），知，； 变式。 （2）假设OABP能构成三角形，则，则，方程无解，即不能构成平行四边形。 （备用）例4．，，，若，，求、的坐标。 解：，，则， ，，即。 注意：也可设，利用向量相等即对应坐标相同的构建方程组来求解M、N坐标。 三、课堂小结 向量的正交分解和坐标表示、向量运算的坐标表示 课后反馈 练习册 P32 A组/1~4 一课一练 P50 8.1(1) 向量的坐标表示及其运算（第二课时） 学习目标 1、掌握向量平行的充要条件及其应用； 2、了解有向线段的定比分点的坐标公式，掌握线段的中点公式、三角形的重心坐标。 重点难点 向量平行的充要条件及其应用， 定比分点坐标公式的推导 教学过程 一、概念复习 向量的正交分解及坐标表示 二、概念新授 例1：（课本P57 例5） 已知、为两个非零向量，且，， 求证：的充要条件是。 证：（1）必要性 因为两个非零向量的充要条件是存在非零实数，使得， 即，所以，则。 （2）充分性 若，则，令，则， 所以，因此； 若，1）设，则，，， 所以，，显然； 2）设，则，，， 所以，，显然。 由（1）（2）可知的充要条件是。 说明：、为两个非零向量， （1）存在非零实数，使 。（交叉相乘相等） （2）。（对应坐标成比例） 例2：已知，，求使三点共线时m的值。 解：三点共线，则， （法一）则，则。——也可以用对应坐标成比例 （法二）则，即，得。 变式：已知，，，若能构成三角形，求实数m满足的条件。 解：若三点共线，则，利用上面的方法求得， 若能构成三角形，则三点不共线，因此。 例3．（课本P58 例6） 已知是直线上一点，且，若、，求点的坐标。 解：由知，则，因为， 则，。——有向线段的定比分点的坐标公式 注意：定比分点必须满足，定比，的符号由的位置决定。 说明：（1）当时，在线段上，称为内分点； 特别的，当为线段的中点，，则线段的中点坐标为 （2）当时，在线段两侧的延长线上，称为外分点， 当在延长线时，；当在延长线时。 （3）当时，点与两重合；当时，这样的不存在。 例4．（课本P58 例7） A G B D C 已知平面上三点的坐标分别为、、，是的重心，求点的坐标。 解：如图是的中点，则， 又因为，则， 同理。——三角形重心公式。 例5：设、， 若，求点坐标。 变式1：若； 解：代公式即可。