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02-10 函数的最值问题 点一点——明确目标 掌握求函数最值的常见方法，并在过程中体会化归思想方法. 做一做——热身适应 1.（2004年春季安徽）函数y=－x（x≥0）的最大值为___________________. 答案： 2.设x＞0，y＞0且3x+2y=12，则xy的最大值是___________. 解析：∵x＞0，y＞0， ∴3x·2y≤（）2＝62xy≤6（当且仅当3x＝2y时等号成立）. 答案：6 3.函数y=|x－1|+|x－3|的最小值是______________. 解析：在数轴上，设1、3、x对应的点分别是A、B、P，∴y=|x－1|+|x－3|=|PA|+|PB|≥|AB|=2. 答案：2 4.（2003年春季北京）函数f（x）=的最大值是 A. B. C. D. 解析：∵1－x（1－x）=1－x+x2=（x－）2+≥， ∴f（x）=≤，f（x）max=. 答案：D 5.若x2+y2=1，则3x－4y的最大值为 A.3 B.4 C.5 D.6 解析：∵x2+y2=1， ∴可设x=cosα，y=sinα. ∴3x－4y=3cosα－4sinα=5sin（α+）≤5. 答案：C 6.[2006年上海理,12]三个同学对问题??关于的不等式在[1,12]上恒成立, 求实数的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”. 乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”. 丙说：“把不等式两边看成的函数，作出函数的图像”. 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是 . 答案: 理一理——疑难要点 求函数最值的常用方法有： （1）配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值； （2）判别式法：若函数y=f（x）可以化成一个系数含有y的关于x的二次方程a（y）x2+ b（y）x+c（y）=0，则在a（y）≠0时，由于x、y为实数，故必须有Δ=b2（y）－4a（y）· c（y）≥0，从而确定函数的最值，检验这个最值在定义域内有相应的x值. （3）不等式法：利用平均值不等式取等号的条件确定函数的最值. （4）换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. （5）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出函数的最值. （6）函数的单调性法. 注意：利用判别式法及不等式法求最值时，都需检验等号能否取到.另外，利用判别式法解决问题时，一定要考虑二次项系数可否为零.当二次项系数为零时，不能用判别式法解决问题. 拨一拨——思路方法 【例1】 （2004年上海，18）某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x、y（单位：m）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m2，问x、y分别为多少时用料最省？（精确到0.001 m） 解：由题意得x·y+·x·=8， ∴y==－（0＜x＜4）. 于是，框架用料长度为 L=2x+2y+2（）=（+）x+≥2=4. 当且仅当（+）x=，即x==8－4时，等号成立. 此时，x≈2.343，y=2≈2.828. 故当x为2.343 m，y为2.828 m时，用料最省. 【例2】 设f（t）= g（t）=－t+（0≤t≤40，t∈N）. 求S=f（t）g（t）的最大值. 解：当0≤t＜20时，S=（t+11）·（－t+）=－（t+22）（t－43）.∵=10.5，又t∈N，∴t=10或11时，Smax=176. 当20≤t≤40时，S=（－t+41）（－t+）=（t－41）（t－43）.∴t=20时，Smax=161. 综上所述，S的最大值是176. 【例3】 已知函数f（x）的定义域为R，且对一切x∈R，都有f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）. （1）若f（5）=9，求f（－5）的值； （2）已知x∈［2，7］时，f（x）=（x－2）2，求当x∈［16，20］时，函数g（x）=2x－f（x）的表达式，并求出g（x）的最大值和最小值. 解：（1）由f（x+2）=f（2－x），f（x+7）=f（7－x）可以发现函数f（x）的图象关于直线x=2，x=7对称，且f（x）=f［（x－2）+2］=f［2－（x－2）］=f（4－x）=f［7－（3+x）］= f［7+（3+x）］=f（10+x）. ∴f（x）是以10为周期的周期函数. ∴f（－5）=f（－5+10）=f（5）=9. （2）根据周期性、图象的对称性，结合图象可得到f（x）= ∴g（x）= ∵x∈［16，17］时，g（