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PAGE  PAGE 8 第三章 刚体的转动 §3-1刚体运动 一、刚体 定义：物体内任意二点距离不变的物体称为刚体。 说明：⑴刚体是理想模型 ⑵刚体模型是为简化问题引进的。 二、刚体运动 刚体运动：（1）平动：刚体内任一直线方位不变。 特点：各点运动状态一样，如：、等都相同，故可用一个点来代表刚体运动。 （2）转动：1）绕点转动 2）绕轴转动：刚体中所有点都绕一直线作圆周运动 说明：刚体的任何运动都可看作平动与转动的合成。（如：乒乓球飞行等） 三、定轴转动（本章仅讨论此情况） 定义：转轴固定时称为定轴转动。 转动特点：⑴刚体上各点的角位移相同（如：皮带轮），各点的、相同。 ⑵刚体上各点的、、一般情况下不同。 说明：⑴是矢量，方向可由右手螺旋法则 确定。 ⑵ §3-2 力矩 转动定律 转动惯?? 一、力矩 1、外力在垂直于轴的平面内 定义： ⑴力矩： （3-1） ⑵力矩 ：大小：（，称为力臂）；方向：沿（）方向，它垂直于、构成的平面即与轴平行。 注意：是、间夹角。 2、外力不在垂直于轴的平面内 ∵ 对转动无贡献 ∴ 对转动有贡献的仅是。 产生的力矩即的力矩， 故上面的结果仍适用。 说明：平行轴或经过轴时 。 二、转动定律 时，转动状态改变，即，那么与的关系如何？这就是转动定律的内容。 推导： 把刚体看成由许多质点组成的系统，这些质点在垂直于轴的平面内作圆周运动。 考虑第个质点： 质量： 到轴的距离： 受力：外力：；内力： （设、在垂直于转轴的平面内） 在切线方向上由牛顿定律有： （3-2） 即 （3-3） （3-3）×: （3-4） 每一个质点都有一个这样方程，所有质点对应方程求和之后，有 （3-5） 可证明。 证明如下： 刚体内力是各质点间的相互作用力， 他们是一对一对的作用力和反作用力。对、两质点，相互作用力的力矩之和=？设为第个质点对第个质点作用力，为第个质点对第个质点作用力。 ∵与共线 ∴力臂相等 又 ∵与等值反向 ∴与产生力矩等值反向，故与力矩合=0 由此可知：刚体的所有内力矩之和两两抵消，结果为0。 令 （3-6） 即：刚体角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，这称为转动定律。 说明：⑴,与方向相同 ⑵为瞬时关系 ⑶转动中与平动中地位相同，是产生的原因，是产生的原因。 *比较 ⑷为合外力矩=各个外力力矩的矢量和。 三、转动惯量 1、： 转动惯量=刚体中每个质点的质量与它到转轴距离平方乘积的和。 2、转动惯量的意义：转动惯性的量度。 例3-1：在不计质量的细杆组成的正三角形的顶角上，各固定一个质量为的小球，三角形边长为。求： ⑴系统对过质心且与三角形平面垂直轴C的转动惯量； ⑵系统对过A点，且平行于轴C的转动惯量； ⑶若A处质点也固定在B处，⑵的结果如何？ 解：⑴ ⑵ ⑶ 讨论：⑴与质量有关（见⑴、⑵、⑶结果） ⑵与轴的位置有关（比较⑴、⑵结果） ⑶与刚体质量分布有关（比较⑵、⑶结果） ⑷平行轴定理：对平行于质心轴的转动惯量=对质心轴转动惯量+刚体质量×该轴与质心轴之距离平方。如 §3-3 转动动能 力矩的功 转动动能定理 一、转动动能 刚体绕过O处轴（垂直图面）转动，角速度为，在转动中刚体各个质点都具有动能，刚体转动动能=各个质点动能之和。 设各质点质量为，，，…，与轴距离为，，，…，转动动能为： （3-6） *比较： 二、力矩的功 刚体绕定轴转动，设作用在刚体P点力（可以是内力，或外力，也可以是合力或单个力），在作用下刚体有一角位移，力的作用点的位移为，则在该位移中作的功为： （3-7） 即 ：力矩元功=力矩×角位移（力矩与角位移点积） 在力矩作用下，从过程中，力矩的功为 （3-8） 说明：⑴常力矩功 ⑵力矩功是力矩的空间积累效应 ⑶内力矩功之和=0（与质点情况不同） ⑷力矩的功功率： 比较： 三、刚体定轴转动的动能定理 即 做如下积分 可得