-多元函数的概念与极限.docVIP

PAGE 4  PAGE 4 章节名称7-1 多元函数的概念与极限授课方式讲授法授课时数2授课方法和手段启发法和师生互动法教学 目的 及要求教学目的； 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性 教学要求； 理解多元函数的极限，多元函数的连续性。教学基本 内容纲要教学重点难点 教学重点； 1、多元函数的极限 2、多元函数的连续性 教学难点： 多元函数的连续性教 学 过 程 设 计一、区域的概念 1． 平面点集 二维平面上具有某种性质的点的集合，称为平面点集，记着 ； 例如，上以坐标原点为中心，为半径的圆内所有点的集合 或记着。 2.邻域 （1）设是xoy平面上的一个定点，为一个正数，则集合 =称为点的邻域。在几何上，是xoy平面上以点为中心、为半径的圆的内部。 不包含的邻域，称为点的去心邻域，记作,即 3 区域 设是平面上的一个点集，是中的一点，则有 (1) )如果存在点的某一邻域，使得,则称点为的内点。 (2)如果点集内任意一点都是的内点，则称为内点。 (3) 如果点的任意一点领域内既有属于的点，也有不属于的点，则称为的边界点，的边界点的全体称为的边界，计作。 (4) )如果点的任意去心邻域内含有的点，则称点为的聚点。 二 多元函数的概念 定义一 设有三个变量，是上的一个非空子集，如果对于每一个点,变量按照一定法则总有唯一确定的数值与之对应，则称是变量的二元函数（或点的函数），记为.或 其中称为自变量，称为函数。点集为函数的定义域。教 学 过 程 设 计二元函数的几何意义 设二元函数的定义域为，点为中任意取定的点，对应的函数值为，这样以为横坐标，以为从坐标，为竖坐标在空间就确定的唯一的点，当点 取遍上的一切点时，得到一个空间点集 , 三 二元函数的极限与连续性 1、二元函数的极限 定义二 设函数在点的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式 的一切点，都有 成立，则称常数为函数当时的极限，记作或，也可记作 通常把二元函数的极限也叫做二重极限 设，求证 证 因为 ，所以，对于任给的，取，当时，总有 故 。 注 （1）二重极限存在，是指动点以任意方式趋于定点时，函数都无限接近于同一个常数。 （2）如果是以某一特殊方式或多种方式趋于时，都无限接近于某一确定值，我们还不能由此断定函数的极限存在。但是，如果以不同方式趋于时，趋于不同的值，那么就可以断定函数的极限不存在。 2、二元函数的连续性 教 学 过 程 设 计定义三 设函数在点的某一邻域内有定义，如果极限 ，则称函数在点处连续，或称为的连续点；否则，称为的间断点。 另一种定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果极限. 即 则称函数在点处连续。 定义四 如果函数在开区间（或闭区间）内的没一点连续，那么就称函数在内连续，或者是内的连续函数。 作业讨论辅导P-9 3, 5 参考资料课后小结