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PAGE  第  PAGE 8 页 共  NUMPAGES 8 页 北 京 交 通 大 学 2012-2013学年第一学期《几何与代数》期末考试试卷（A） 参考答案与评分标准 一．简答题（需写出计算过程，本题共九小题，满分50分） 1. （4分）已知向量中任两个的夹角都是，且的长度分别是。求向量的长度。 解 所以 2. （4分）若矩阵的伴随矩阵的秩为，求的值。 解 若矩阵的伴随矩阵的秩为，则矩阵的秩为。由，知或，经验证 3． （5分）求过四点的空间四面体的体积。 解 由立体几何知，四面体的体积等于以为棱的平行六面体体积的1/6。即 而，所以 ，。 4. （5分）设是阶正交矩阵，，是阶矩阵满足。是阶单位矩阵，求行列式的值。 解 又，所以，而，故。这样。 5． （6分）已知矩阵和向量组 。 求向量组的一个最大线性无关组，并用其表示中其它向量。 解 ??证线性无关，且。 ………3分 又可逆，故线性无关。所以是一个最大无关组，且。 ………6分 6. （6分）已知三阶矩阵满足 。 求矩阵。 解 可逆，且。 ………4分 所以 ………6分 7．（6分）设，在中求，使为正交向量组。 解 由已知条件，的坐标满足。 解得基础解系， ………3分 将正交化得 。 于是为所求的正交向量组。 ………6分 8．（7分）计算4阶行列式 。 解 各列加到第一列 再将第一列的-i倍加到第i列,得 。 ………7分 9．（7分）已知二次曲面方程 经过正交变换 化为。求的值，并指出该曲面是何种二次曲面。 解 二次型的矩阵 ， 由题意，相似于，于是，得。…2分 又 故 所以。 ………6分 该曲面是单叶双曲面。 ……7分 二．（10分）若向量能被向量组 线性表示。 （1）求的值； （2）求由线性表出的一般表达式。 解 向量能被向量组线性表示等价于增广矩阵为 的方程组（*）有解。 ………1分 将上矩阵化为阶梯形： ………4分 由（*）有解，得，即或。 ………5分 （*）的一般解 ………9分 由线性表出的一般表达式： 当时， 或 当时， 其中任取 ………10分 三．（10分）设直线过点，且平行于平面。若与直线相交，求的方程。 解 设所求直线的点向式方程为， ………2分 由其与平面平行知 ………4分 据题意，所求直线与直线相交，故，即 ………7分 由（1），（2）解得。 ………9分 于是所求直线方程为 。 ………10分 四．（8分）已知平面垂直于平面，且与的交线落在平面上，求的方程。 解 由已知条件，所求平面通过和平面的交线，故可设的方程为： ………4分 它的法向量与的法向量垂直，故，解得。 ………7分 故的方程为： ………8分 五（12分） 已知是矩阵的特征值。 （1）求的值； （2）求正交矩阵使为对角矩阵。 解 （1）由是矩阵的特征值，知 解得。 ………3分 （2） 的特征值是1（二重），-1，3。 ………7分 属于1的线性无关的特征向量为，单位