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第  PAGE 6 页 共  NUMPAGES 6 页 北京交通大学2013-2014学年《几何与代数》阶段测试试卷答案 一．（本题满分30分，每空3分）请把答案填在空中． 1. 行列式，则和满足的条件为. 2. 设A为方阵,满足,其中为单位矩阵，则. 3. 设的秩为3, -3 . 4．设都是5阶矩阵,且,则 . 5．已知矩阵,设为A的伴随矩阵,则 6. ,又是的代数余子式, 则 0 . 7.设是阶矩阵，为单位矩阵，，,则 -A . 8. 若有唯一解，则参数满足条件为： 且. 二. (第(1)题5分，第(2)题12分，共17分) 计算下列各行列式： 解 (1)= ==0 … 5 (2) 默写范德蒙德 (Vandermonde)行列式结论 … 4 ; 从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行…，共经次行交换，得 此行列式为范德蒙德行列式 … 10 . … 12  三. (每题7???，共21分)计算题 (1)设,求. 解 … 3 利用数学归纳法可得: . … 7 (2) 设,求. 解 , , , , , , , , , , 故. … 7 (3)　求矩阵的秩. 解　 秩为3 … 7 四．(12分)已知矩阵X满足，其中为单位矩阵，求X. 解：两边同时左乘A得而，故，， … 5 ， … 9 … 12 五.(8分) 用初等行变换法求解下列齐次线性方程组: 解　对系数矩阵实施行变换: … 5 即得 … 8 六．(8分)设阶矩阵及阶矩阵都可逆,求． 解 将分块为，其中为矩阵, 为矩阵，为矩阵, 为矩阵， 则 … 4 由此得到 故 ． … 8 七. (10分)设阶矩阵的伴随矩阵为，证明： (1)　若,则; (2) 　. 证明 (1)　用反证法证明．假设则有 由此得 这与矛盾，故当时 有 … 5 (2)　由于, 则 取行列式得到: 若 则 若由(1)知此时命题也成立 故有. … 10