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第  PAGE 6 页 共  NUMPAGES 6 页 北 京 交 通 大 学 2008-2009学年第一学期《几何与代数》期中试卷参考答案 一、（本题满分44分，每小题4分）请把答案填在空中． 1. 若向量，，为单位向量且则= 2. 设为阶方阵，且 则. 3．设向量与向量共线且与y轴正向成锐角。若的长度为15, 则= （-5，10，10） . 4. 设其中均为矩阵，且 则 -18 . 5．已知向量若矩阵是矩阵的逆矩阵（其中是数），则 6. 设为阶可逆方阵，则以下结论正确的是（ 3，4 ）： (1)可逆； (2)； (3)可逆； (4)可用行初等变换把变为。 7． 设为阶方阵，且则以下结论正确的是（ 4 ）： (1)或者； (2)不可逆； (3)能写成一些初等矩阵的乘积； (4) 或者。 8. 设的秩为2，则以下结论正确的是（ 2 ）： (1)或者； (2) 且； (3)或者； (4) 或者。 9. 设，，为三个向量。则的相互关系是（ 2 ）: (1)共线； (2)共面； (3)既不共线也不共面； (4)不能确定。 10. 在平面与平面的交线上有一点，它到平面和平面的距离相等。则的坐标是（ 4 ）: (1)（3，1，1）； (2)（3，2，1）； (3)（2，3，2）； (4)（3，-1，0）。 11. 设有直线。则它们的夹角（取锐角）是（ 3 ）: (1) ； (2) ； (3) ； (4) 。 二. (9分) 计算阶行列式 。 解 三. (9分) 设。三阶方阵满足求。 解 由知 又可逆，故。 又 故 四. (9分)平面经过平面与平面的交线且与平面垂直。求平面的方程。 解 由平面束方程知所求平面方程可写为 它的法向量与垂直，解得 所求平面方程为 五.( 9分) 设直线过点与轴相交，且垂直于直线。求直线方程。 解 设所求直线的方向向量为 。 解得 所求的直线方程为。 六.( 8分) 已知四面体的三个顶点，另一个顶点在轴上。若四面体的体积为，求点坐标。 解 设点坐标为. 则 四面体的体积为 ， 所以。点坐标为或 七．（6分）设 求的秩。 解 显然任意两行成比例，故A的所有二级子式都是0。 若所有的，则A的秩为0， 若有某，则A的秩为1。 八．（6分）设是元素全为的阶方阵。证明可逆，并求它的逆。 解 因为， 所以。 这样可逆，且