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1.6.1定积分的概念 教材分析 本节的主要内容是定积分的引入、定积分的定义和几何意义、定积分的基本性质.教材在对两类典型问题——求曲边梯形的面积和求变速运动物体的位移进行详细讨论的基础上，抽象、概括出它们的共同本质特征，进而引入定积分的概念及其几何意义，最后给出定积分的基本性质.在本节的开头，提出了如何计算平面“曲边梯形”的面积，如何求变速直线运动物体的位移、如何求变力做工等问题，并猜测解决它们的基本思想方法，即讲求“曲边图形”的面积转化为求“直边图形”的面积，利用匀速直线运动的知识解决变速直线运动的问题，从而引发学生学习定积分知识的兴趣.在教材的处理上，要大胆创新，明确求曲边梯形面积的步骤方法，结合学生的认知能力和思维习惯进行引导.，让学生充分体验“分割--—近似代替—--求和----取极限”的过程．针对课本题目较少的特点，例题和练习的选择要遵循由浅入深、循序渐进的原则，低起点，多角度，多层次地认识曲边梯形的面积，多梯度地进行求面积的训练. 课时分配 本课时是定积分部分的第一课时，主要解决的是定积分的概念问题. 教学目标 重点: 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义. 难点：定积分的概念、定积分的几何意义. 知识点：通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景. 能力点：能用定积分的定义求简单的定积分. 教育点：特殊到一般的探究路程，享受从复杂到简单的和谐之美. 自主探究点：图形的面积与定积分之间的关系. 考试点：了解定积分的几何意义. 易错易混点：在横轴下方部分图形的面积与定积分关系. 拓展点：链接高考. 教具准备 实物投影机和粉笔. 课堂模式 基于问题驱动的诱思探究. 一、创设情境 复习回顾：从求曲边梯形的面积以及求变速直线运动路程的过程可以发现，它们都可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”得到解决，且都可以归结为求一个特定形式和的极限. 许多函数(例如等)的图象都在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线.如图1. 一般地,如果函数在某一区间上的图像是一条连续不断的曲线，那么就把函数称为区间上的连续函数．（不加说明，下面研究的都是连续函数） ；如图2. ；如图3. 事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限. 【设计意图】通过复习回顾求解步骤及结果的形式，使学生对这一知识结构有个清醒的初步认知，逐渐过渡到对定积分的学习情境. 二、探究新知 1．定积分的概念 一般地，设函数在区间上连续，用分点 将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式： 如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分.记为：，即 其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限. 说明：⑴定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是． ⑵用定义求定积分的一般方法是： ①分割：等分区间； ②近似代替：取点； ③求和：； ④取极限：. ⑶曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功. ⑷易得，. 2．定积分的几何意义 如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积. 如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积. 说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号． 分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值. 考察和式，不妨设 于是和式即为 阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积） 3．定积分的性质 性质1 （其中是不为的常数） （定积分的线性性质） 性质2 （定积分的线性性质） 性质3 【设计意图】使学生通过动手操作，实践体验的方法，切身感受到曲边图形的面积与定积分之间的关系. 三、理解新知 定积分的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示，. ，曲边梯形的面积. ，曲边梯形的面积的负值. 阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）. 【设计意图】利用流程图帮助总结求曲边梯形面积的步骤，让学生进一步熟悉其操作步骤，做到烂熟于心. 四、应用新知 例1．利用定积分定义计算定积分的值 解：令，如图 ⑴．分割 在区间上等间隔地插入个点，将区间等分成个小区间，每个小区间的长度为 ⑵．近似代替、作和 取，则 ⑶．取极限 例2．计算定积分 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为. 即： 思考：若改为计算定积分呢？ 改变了积分上、下限，被积函数在上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题） 【设计意图】由学生通过具体的问