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PAGE  PAGE 11 上海大学1997年度攻读硕士学位研究生 入学考试试题 计算下列极限： （1） （2） （3） 研究函数的连续性.若有间断点，讨论是何种间断点. 求下列函数的导数或偏导数： （1） 求. （2） 求. （3）设为由方程所定义的函数，求. 求下列积分： （1）. （2）. （3）设，求. 5. 设在上连续，求证：，并计算. 6. 证明下列函数项级数在所给区间内一致收敛. （1） （2） 7. 将函数展成余弦级数，并计算. 8. 利用交换积分顺序的方法计算 . 9. 设为连接和的某一曲线，又设与直线包围的面积为，计算. 10. 证明题： 有数列，若，求证：. （2） 设函数在开区间上连续，且和均存在，求证：在开区间上有界. 上海大学1998年度攻读硕士学位研究生 入学考试试题 1. 已知 ，证明：数列存在极限，并求之. 2. 已知收敛，证明：也收敛. 3. 把在上展成级数. 4. 设 ，求在处的左、右导数和. 5. 设在上非负连续，且不恒等于零，求证：. 6. 验证开区间集覆盖了开区间，但它的任意有限个开集都不能覆盖. 7. 已知在内可导，，在内单调增加，证明：也在内单调增加. 8. 求极限与，其中[]为取整数，. 9. 利用极坐标计算二重积分，其中由和围成. 10. 如果对于任何数列，都有，那么一定有. 上海大学1999年度攻读硕士学位研究生 入学考试试题 1. 设，其中为实数，，讨论为何值，在点处，（1）连续；（2）可导. 2. 叙述并证明：存在且有限的充要条件（柯西收敛原理）. 3. 求柱面含在球面内的面积. 4. 已知平面曲线在曲线上的点处的切线斜率，并且此曲线经过点，求此曲线方程. 求. ，讨论级数 的绝对收敛、条件收敛及发散性. 证明级数在上一致收敛，并且. 在上展开为傅立叶级数，并求. 上海大学2000年度攻读硕士学位研究生 入学考试试题 设，若，证明：（1）当为有限数时，；（2）当时，. 设在上有二阶导数（端点分别指左、右导数），，且 ，证明：. 证明：函数 在上可积. 证明：，其中在上连续. 设，讨论级数的收敛性. 设收敛且在上单调，证明：. 计算曲面包含在曲面 内的那部分的面积. 将函数在上展成级数，并计算级数的值. 上海大学2001年度攻读硕士学位研究生 入学考试试题 计算下列极限、导数和积分： 计算极限； 计算的导函数，其中. 已知，求积分. 计算 的导数（只需写出的积分表达式）. 设在上连续，在上可导.若且，试证明必存在使得. 令 证明：；. 证明：对任意的，方程在中存在唯一的解. 计算和. 一致连续和一致收敛性 函数在上是一致连续的，对，试确定，使得当且时有. 设，证明：在上是内闭一致收敛的，但不是一致收敛的. 曲线积分、格林公式和原函数 计算第二型曲线积分，其中是逐段光滑的简单闭曲线，原点属于围成的内部区域，的定向是逆时针方向. 设除原点外是连续的，且有连续的偏导数.若 其中的参数方程是， 证明：存在连续可微函数，使得 上海大学2002年度攻读硕士学位研究生 入学考试试题 求和使得当时，无穷小量等价于无穷小量. 求椭圆所围成的面积，其中均为常数. 试给出三角级数中系数的计算公式（不必求出具体值），使得该级数在一致收敛到，并说明理论依据. 证明：，函数在上一致收敛. 设在上有连续的导函数，，证明：. 证明：当时有不等式：. 设在上连续，并且一对一（即当，且时有），证明：在上严格单调. 上海大学2003年度攻读硕士学位研究生 入学考试试题 证明和计算： 对于任意，证明：存在，并求之. 设，证明：存在并求之. 判别下列结论是否正确，正确者请证明，错误者也请证明或给出反例： 存在级数使得当时， 不趋于0，但收敛. 是收敛的. （此题只需指明理论依据）. 计算： ，其中为曲面：的上侧. 将把在上展成级数，并由此计算. 证明： 设函数，证明：它在连续且有偏导数，但是在不可微. 设函数在上可积，证明：在上也是可积. 当时，证明：. 设函数在上连续，其中.证明： 设函数有连续的偏导数，证明曲面上各点的切平面都交于一点，并求出交点坐标. 设闭曲线，其中均为常数.记和分别表示曲线的最高点和最低点，证明：. 如果函数列，在上一致收敛，证明：在上一致有界，即：存在，使得，对成立.进一步问，如果函数列在上点点收敛，结论是否成立，请证明你的结论. 设函数在上连续，绝对收敛，证明： 上海大学2004年度攻读硕士学位研究生 入学考试试题 判别数列是否收敛，其中，证明你的结论. 在区间上随机地选取无穷多个数构成一个数列，请运用区间套定理或有限覆盖定理证明该数列必有收敛子列. 设函数在上连续，，证明方程在上一定有根. 证明定理：设在上可微，，如果，则在与