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暨南大学《数学分析II》试卷A答案 考生姓名、学号： 第  PAGE 7 页 共  NUMPAGES 7 页 第  PAGE 1 页 共  NUMPAGES 7 页 暨 南 大 学 考 试 试 卷 教 师 填 写2007 2008 学年度第 2 学期 课程名称： 数学分析II 授课教师姓名： 高凌云 考试时间: 2008 年 7 月 15 日课程类别 必修[√] 选修[ ]考试方式 开卷[ ] 闭卷[√]试卷类别(A、B) [ A ] 共 8 页考 生 填 写 学院(校) 专业 班(级) 姓名 学号 内招[ ] 外招[ ] 题 号一二三四五六七八九十总 分得 分 得分评阅人一、单项选择题（共6小题，每小题2分，共10分） 1. 函数在 [a,b] 上可积，那么（ A ） A．在[a,b]上有界 B．在[a,b]上连续 C．在[a,b]上单调 D．在[a,b]上只有一个间断点 2．若，则（ B ） A． B． C． D． 3．在[a，+∞]上恒有，则（ D ） A．收敛也收敛 B．发散也发散 C．和同敛散 D． 无法判断 4. 函数项级数在D上一致收敛的充要条件是（ A ） A． 对??0,? N（?）0，使当?mn N有 B．对??0, N0，使当?mn N有 C． ??0, ? N（?）0，使当?mn N有 D．对??0,? N（?）0，使?mn N有 5. 是以为周期的函数，在一个周期的表达式为，则它的傅里叶级数（ B ） A．不含正弦项； B．不含余弦项； C．既含正弦项也含余弦项； D．不存在. 得分评阅人二、叙述题（每小题3分，共6分） 牛顿-莱不尼兹公式 设在上连续，是在上的一个原函数，则成立 收敛的cauchy收敛原理 使得，成立 得分评阅人二、计算题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. . 由于在[0，1]可积，由定积分的定义知（1分） =（4分） 2. （5分） 3．求摆线与轴围成的图形的面积。 所求的面积为：（5分） 4. 求由曲线和围成的图形绕轴旋转而成的几何体的体积。 两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分） 所求的体积为：（3分） 5．求数项级数的和. 解 考虑幂级数, 其收敛域为. 设和函数为, 在内有 , . （2分） 注意到,对有 , . 于是, . （3分） 6. . 解：设，则 = = = = （5分） 7. . 解： = = （5分） 8. 解： （3分） （2分） 得分评阅人三、讨论判断题（共2小题，每小题5分，共10分）讨论反常积分的敛散性。 解： 对于，它为正常积分；（2分） 对于 ，它收敛。 综上所述，积分收敛 （3分） 讨论在内的一致收敛性. 解： 显然有, 在点处取得极大值 ,.（3分） ，不一致收敛. （2分） 得分评阅人四、证明题（共3小题，每小题6分，共18分）1.证明函数在区间内连续. 证 ( 先证在区间内闭一致收敛.)对，有 ，；又，在一致收敛. （2分） ( 次证对, 在点连续 ) 对, 由上段讨论 , 在区间上一致收敛; 又函数连续, 在区间上连续, 在点连续. 由点的任意性, 在区间内连续. （4分） 2. 设在上连续，但不恒为0，证明。 证明：由但不恒为0，至少有一点 f（x）在[a,b]连续（2分），存在包含x0的区间，有（2分），（2分） 3.若 ，且数列 有界，则级数 收敛． 证明：已知数列 有界，即