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暨南大学《数学分析II》试卷（A卷） 考生姓名： 学号： 第  PAGE 10 页 共  NUMPAGES 10 页 第  PAGE 1 页 共  NUMPAGES 10 页 暨 南 大 学 考 试 试 卷 教 师 填 写20_08_ - 20 09_ 学年度第__ _2_____学期 课程名称： 数学分析II 授课教师姓名： 刘红霞、伍超标 考试时间: 2009 年 _7 _ 月 __13 _ 日课程类别 必修[√] 选修[ ]考试方式 开卷[ ] 闭卷[ √ ]试卷类别(A、B) [ A ] 共 8页考 生 填 写 学院(校) 专业 班(级) 姓名 学号 内招[ ] 外招[ ] 题 号一二三四五六七八九十总 分得 分 得分评阅人一、单选题（每小题2分, 共8分） 1. 有限区间上不可积的函数类有： （ c ）. (a) 连续函数； (b) Rieman函数； (c) Dirichlet函数; (d) 有有限个间断点的有界函数. 2. 函数的原函数为： （ a ）. (a) ; (b) ; (c) ; (d) 其中为任意常数. 3. 关于数项级数，以下陈述不正确的是： （ b ）. (a) 通项序列的极限为零是级数收敛的必要条件; (b) 部分和序列有界是级数收敛的充分必要条件; (c) 余项序列的极限为零是级数收敛的充分必要条件; (d) 部分和序列的极限存在是级数收敛的充分必要条件. 4. 函数的Maclaurin级数展开式为： （ b ）. (a) ，; (b) ，; (c) ，; (d) ，. 得分评阅人二、填空题（每空1.5分, 共15分） 1. 设, ，及，则 5 , 30 . 2. 设，，则，其中 2 ， . 3. 区间上的曲线段与轴围成的区域的面积为 5/2 4. 区间上的曲线段的弧长为 12 5. 设，则 1 ， 6 . 6. 设，则级数 发散 (收敛/发散）,因为极限 . 得分评阅人三、判断题（若正确的命题请给予证明,错误的命题请举出反例并作必要的说明）（每小题6分, 共12分）1. 函数项级数在区间上一致收敛. 解：此命题正确。利用函数的单调性，可得： 。 基于此，对充分大的，成立 从而，在区间上，有 。 而积分收敛，故由积分判别法知，级数收敛。由M判别法知，原级数在区间上一致收敛。 若数项级数绝对收敛，则数列必为单调有界列. 解：此命题错误。反例如下：取 ，其中 则此数列有界1；而故知数列非单调。尽管 收敛。 得分评阅人四、计算题（每小题5分, 共45分）求不定积分. 解：对被积函数进行部分分式展开，可得 基于此，我们有 2. 求定积分. 解法一：进行分部积分，可得： 解法二：进行分部积分，可得： 解法三：进行变量替换则于是，我们有 讨论无穷积分为绝对收敛还是条件收敛. 解法一：对积分进行变量替换可得 由此可知，原积分是条件收敛的，而非绝对收敛。 解法二：注意到 利用函数在区间上的递减性，及积分的有界性，应用Dirichlet判别法，可知积分收敛；而由 可推知原积分不绝对收敛，从而原积分为条件收敛。 讨论暇积分（为自然数）的收敛性，在收敛的情形下计算积分值. 解法一：瑕点只有一个 而当 时， ， 故原积分收敛。此时，作变量替换，则有 ， 满足递推关系: , 由此可推知 其中。 解法二：作变量替换，则有 ， 这是一个普通的定积分，从而收敛；且满足递推关系: , 由此可推知 其中。 解法三：作变量替换，则有 这是一个第二型的Euler积分，参数分别为满足定义条件，故原积分收敛，且有