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PAGE  梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！ 第  PAGE - 22 - 页 共  NUMPAGES 22 页 2003年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题 填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） （1） = . （2） 曲面与平面平行的切平面的方程是 . （3） 设，则= . （4）从的基到基的过渡矩阵为 . （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为则 . （6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则的置信度为0.95的置信区间是 . (注：标准正态分布函数值 二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内） （1）设函数f(x)在内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有 一个极小值点和两个极大值点. 两个极小值点和一个极大值点. 两个极小值点和两个极大值点. (D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ] y O x （2）设均为非负数列，且,,,则必有 (A) 对任意n成立. (B) 对任意n成立. (C) 极限不存在. (D) 极限不存在. [ ] （3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且，则 (A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点. (D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ ] （4）设向量组 = 1 \* ROMAN I：可由向量组 = 2 \* ROMAN II：线性表示，则 (A) 当时，向量组 = 2 \* ROMAN II必线性相关. (B) 当时，向量组 = 2 \* ROMAN II必线性相关. (C) 当时，向量组 = 1 \* ROMAN I必线性相关. (D) 当时，向量组 = 1 \* ROMAN I必线性相关. [ ] （5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B均为矩阵，现有4个命题：  = 1 \* GB3 ① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)秩(B)；  = 2 \* GB3 ② 若秩(A)秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；  = 3 \* GB3 ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；  = 4 \* GB3 ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是 (A)  = 1 \* GB3 ①  = 2 \* GB3 ②. (B)  = 1 \* GB3 ①  = 3 \* GB3 ③. (C)  = 2 \* GB3 ②  = 4 \* GB3 ④. (D)  = 3 \* GB3 ③  = 4 \* GB3 ④. [ ] （6）设随机变量，则 (A) . (B) . (C) . (D) . [ ] 三、（本题满分10分） 过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D. 求D的面积A; 求D绕直线x=e旋转一周所得旋转体的体积V. 四、（本题满分12分） 将函数展开成x的幂级数，并求级数的和. 五 、（本题满分10分） 已知平面区域，L为D的正向边界. 试证： (1) ; (2) 六 、（本题满分10分） 某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比（比例系数为k,k0）.汽锤第一次击打将桩打进地下a