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南 京 航 空 航 天 大 学 研究生考试参考答案及评分标准 共 3 页 第 1 页 一、（20分） 解：（1）的不变因子：；的初等因子：；的最小多项式。 （2）的Jordan标准形 ，相应的可逆变换矩阵为。 （3），故矩阵序列发散。 二、（20分） 解：（1）；；； ， 。 （2）设是相应于特征值的特征向量，， 两边取矩阵范数导出的上向量范数可得：，； 又可逆，是的特征值，由上述证明可知：； 综上所述有： 。 二OO 七 ～二OO 八 学年 第 一 学期 课程名称： 矩阵论 试卷类型 B 卷 课程编号: A000003 参考答案及评分标准制定人： 2008 年 1 月 18 日  共 3 页 第 2 页 三、（20分） 解：（1） 可取为的一组基，则线性变换 在该基下的表示矩阵为 ； （2）线性变换的特征值为5，1，3； 在（1）所取基下相应的特征向量分别为； （3）具有3个互异特征值，可对角化，其对角化的一组基为 。 四．（1）的满秩分解为：； ； （2）易证，该方程组不相容，其极小最小二乘解为:. 五．（1）当且仅当各阶顺序主子式均为正： ， 即时成立。 （2）是Hermite矩阵，存在酉矩阵，使得， 由此可知：，  共 3 页 第 3 页 ，有 。 （3）存在，构造可逆矩阵, 使得， 从而有 。