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-讲向量组和矩阵的秩(窄)
第七讲 向量组和矩阵的秩
教学目的：
讲解向量组的秩，这是一个难点，比较抽象。
讲解矩阵的秩：概念、算法、有关性质和应用。这也是重点和难点。
教学内容：
§ 3.3 向量组的秩。
§3.4 矩阵的秩；
教案提纲：
开始上课之前，先给出习题2-18的解答。
§ 3.3 向量组的秩：
一、两个向量组之间的表示关系：
1. 向量组的线性表示：“表示矩阵”；
2. 两个向量组的等价：与两矩阵的等价的区别与联系；
3. 两向量组的表示关系与向量个数之间的联系：定理3.8（应证明）；
4. 推论：等价的无关组等量（即所含向量个数相等）。
二、极大无关组：
1. 极大无关组的定义：定义3.6，“无关”、“极大”；
2. 极大无关组的性质（定理3.9）：
（1）不唯一性（讨论：何时唯一？）
（2）等价性；
（3）等量性：一向量组最多含几个无关（独立）向量，是唯一确定的。
三、向量组的秩：（秩（rank）：等级、档次、排位）
1. 定义：
定义3.7 向量组的任一极大无关组所含向量的个数称为的秩，记作。
2. 几个性质：
（1）无关iff满秩（定理3.10）；
（2）若（I）可由（II）表示 → （定理3.11）；
（3）等价的向量组等秩（推论）（注意：反之不然）。
§ 3.4 矩阵的秩：
一、行秩与列秩：
1. 定义3.8：二者必相等否？
2. 定理3.12：初等变换保秩；
3. 推论：行初等变换保行向量组的等价性（为下一章作准备）；
二、秩与等价类：
1. 矩阵的秩：定义3.9；“满秩方阵”；
2. 秩与等价类：进一步认清矩阵的秩、等价标准形、初等变换保秩等概念及其关系；
推论：定理3.13
三、矩阵的行列式秩：
1. 矩阵的阶子式（定义3.10）；
2. “非零子式”与相关性的关系（定理3.14）；“最大非零子式”；
3. 矩阵的行列式秩：定理3.15；“三秩一致性”；
小结：求矩阵的秩：
（1）初等变换法：化到行阶梯形即可；
（2）最大非零子式法：（关键是表明“最大”）；
（3）利用有关秩的命题（见五）；
四、向量组的线性结构：
利用矩阵（例3.16，三种解法）
用矩阵的行初等变换处理行向量组；
用矩阵的行初等变换处理列向量组；
利用矩阵的最大非零子式；
五、矩阵运算与秩：
1. 矩阵的代数运算与秩的关系（定理3.16）；
2. 矩阵的其他应用与秩的关系（例如由线性方程组导出的若干关系，见下一章）。
作业：p.88：12、13（3、4）、15（3、4）、16。
备例：
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