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PAGE  PAGE 33 第一讲 极限计算方法 2012-10-13 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义： （1）自变量趋向无穷大时函数的极限：设函数当大于某一正数时有定义。若存在一个常数，对于任意给定的正数(不论其多么小)，总存在着正数，使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式，那末常数就叫做函数当时的极限，记作：。 （2）自变量趋向有限值时函数的极限：设函数在的某一去心邻域内有定义。若存在一个常数，对于任意给??的 (不论其多么小)，总存在正数，使得对于适合不等式的一切，所对应的函数值都满足不等式，则常数就叫做函数当时的极限，记作：。 说明：数列极限是情况下时的特殊情形。 2．极限运算法则 定理1 已知 ，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有 （1） （2） （3） 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） （2） ； 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。例如：，，；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： ～～～～～～ 。 说明：当上面每个函数中的自变量x换成时（），仍有上面的等价 关系成立，例如：当时， ～ ； ～ 。 定理4 如果函数都是时的无穷小，且～，～，则当存在时，也存在且等于，即 =。 注：用泰勒公式做等价代换求极限，泰勒公式比用等价无穷小更深刻（数学一和数学二）。 当时， 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数和满足： （1）和的极限都是0或都是无穷大； （2）和都可导，且的导数不为0； （3）存在（或是无穷大）； 则极限也一定存在，且等于，即= 。 说明：定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要有一条不满足，洛比达法则就不能应用。特别要注意条件（1）是否满足，即验证所求极限是否为“”型或“”型；条件（2）一般都满足，而条件（3）则在求导完毕后可以知道是否满足。另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。 6．连续性 定理6 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果是函数的定义去间内的一点，则有 。 7．极限存在准则 定理7（准则1） 单调有界数列必有极限。 定理8（准则2） 已知为三个数列，且满足： （1） （2） ， 则极限一定存在，且极限值也是a ，即。 8．利用导数定义求极限 9．利用定积分定义求极限 二、求极限方法举例 用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 解：原式= 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 解：原式= 。 例3 解：原式 。 利用函数的连续性（定理6）求极限 例4 解：因为是函数的一个连续点， 所以 原式= 。 利用两个重要极限求极限 例5 解：原式= 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例6 解：原式= 。 例7 解：原式= 。 利用定理2求极限 例8 解：原式=0 （定理2的结果）。 利用等价无穷小代换（定理4）求极限 例9 解：～，～， 原式= 。 例10 解：原式= 。 注：下面的解法是错误的： 原式= 。 正如下面例题解法错误一样： 。 例11 解：， 所以， 原式= 。（最后一步用到定理2） 利用洛比达法则求极限 说明：当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。同时，洛比达法则还可以连续使用。 （1）型和型 例1．求 解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑 ∴ 原式 例2．求 解：若直接用型洛必达法则1，则得=（不好办了，分母的次数反而增加）。为了避免分子求导数的复杂性，我们先用变量替换，令 于是（型） 例3 设函数，求 解：原式（分母作变量替换） （用洛必达法则，分子、分母各求导数） （用积分中值定理：在0和之间） （2）型和型 例1 求 解：原式= 例2 设，常数。求 解： 原式 （型）用洛必达法则 （3）“”型，“”型和“”型 这类都是形式可化为，而都