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2004年高考数学函数与三角试题选编 陕西省特级教师 安振平 函数 （一）选择题、填空题 时 0 6 12 18 24 37 体温(℃) 37 体温(℃) 时 0 6 12 18 24 37 时 0 6 12 18 24 体温(℃) 37 时 0 6 12 18 24 体温(℃) 示例：某天清晨，小鹏同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了. 下面大致能上反映出小鹏这一天（0时—24时）体温的变化情况的图是 ( ) A B C D 答案：C. 示例：偶函数在上单调递增，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D． 答案：D. 示例：定义两种运算：，，则函数为（ ） A．奇函数 B．偶函数 C．奇函数且为偶函数 D．非奇函数且非偶函数 答案：A. 示例：函数在区间上是增函数，则的取值范围为 A． B. C. D. 答案：A. 示例：如图所示，根据此统计图分析一下说法：  = 1 \* GB3 ①这几年人民的生活水平逐年得到提高；  = 2 \* GB3 ②人民的生活收入增长最快的是2001年；  = 3 \* GB3 ③生活价格指数上涨最快的一年是2002年；  = 4 \* GB3 ④虽2003年生活收入增长缓慢，但由于生活价格指数有较大下降，因而人民的生活水平仍有较大改善. 上述说法正确的是 A、 = 1 \* GB3 ① B、  = 2 \* GB3 ② C、 = 3 \* GB3 ③ D、  = 4 \* GB3 ④ 答案：C 示例：已知函数，且正数C为常数．对于任意的，存在唯一的，使，则称函数在D上的均值为C. 试依据上述定义，写出两个均值为９的函数的例子：________________. 答案：，. ，.　 （）, 等等 示例：已知函数R满足，且[]时，，则与的图像的交点的个数为________个.　　 答案：4　　　　 示例：试构造一个函数，使得对一切有恒成立，但是既不是奇函数又不是偶函数，则可以是 . 答案：的图像部分关于原点对称，部分关于轴对称，如． （二）解答题 示例：已知函数f (x)=x2－4ax＋a2 (a∈R)． (I)如果关于x的不等式f (x)≥x的解集为R，求实数a的最大值． (II)在(1)的条件下，对于任意的实数x，试比较f {f [f (x)]}与x的大小． (III)设函数g(x)=2x3＋3af(x)，如果g(x)在闭区间(0，1)上存在极小值，求实数a的取值范围． 答案：(I)∵f(x)≥x的解集为R，∴x2-(4a+1)x+a2≥0恒成立． ∴△=(4a+1)2-4a2≤0，即12a2+8a+1≤0，解得 ≤a≤．故a的最大值为． (II)由(1)得f(x)≥x恒成立，f[f(x)]≥f(x)，f{f[f(x)]}≥f[f(x)] ． 从而，f{f[f(x)]}≥f[f(x)]≥f(x)≥x，即f{f[f(x)]}≥x． (III)由已知可得g(x)= 2x3+3ax2-12a2x+3a3， 则g(x)= 6x2+6ax-12a2=6(x2+ax-2a2)=6(x-a)(x+2a)， 令g (x)=0得 x=a或x= -2a． ①若a=0，则g (x)≥0，∴g(x)在R上单调增，在（0，1）上无极值． ②若a0，则当x-2a或xa时，g(x)0；当-2a xa时，g(x)0． ∴当x=a时，g(x)有极小值．∵g(x)在闭区间（0，1）上存在极小值，∴0a1． ③若a0，则当xa或x-2a时，g(x)0；当a x-2a时，g(x)0． ∴当x= -2a时，g(x)有极小值． ∵g(x)在闭区间（0，1）上存在极小值，∴0-2a1，∴a0． 所以当a0或0a1时，g(x)在闭区间（0，1）上存在极小值． 示例：已知函数的反函数， (I)若，求的取值范围; (II)设函数，当时，求的值域. 答案：∵，∴。 （I）∵ 即， ∴， ∴ 解之得：，∴ (II) ∵