..任意角的角函数教案.docVIP

1.2.1任意角的三角函数 【教学目标】 （1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）； （2）理解任意角的三角函数不同的定义方法； （3）了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来； （4）掌握并能初步运用公式一； （5）树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. 【教学重难点】 重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）. 难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；三角函数线的正确理解. 【教学过程】 y P（a，b） r  SKIPIF 1 0  O M 一、【创设情境】 提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？ 借助右图直角三角形，复习回顾. 引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。 数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗? 如图,设锐角的顶点与原点重合,始边与轴的正半轴重合,那 a的终边 P(x,y) O x y 么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点,它与原点的距离.过作轴的垂线,垂足为,则线段的长度为,线段的长度为.则; ; . 思考：对于确定的角，这三个比值是否会随点在的终边上的位置的改变而改变呢？ 显然，我们可以将点取在使线段的长的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数： ; ; . 思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数. 二、【探究新知】 1.探究:结合上述锐角的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢? 显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点为圆心,以单位长度为半径的圆. 2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义? 如图,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么: (1)叫做的正弦(sine),记做,即； （2）叫做的余弦(cossine),记做,即； （3）叫做的正切(tangent),记做,即. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同（指出对边，邻边，斜边所在）；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点，从而就必然能够最终算出三角函数值. 3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,, .所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数. 4.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中： 三角函数定义域第一象限第二象限第三象限第四象限角度制弧度制 5.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一: (其中) 6.三角函数线 设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点 ，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点. （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅳ） （Ⅲ） 由四个图看出： 当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有 我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。 我们把这三条与单位圆有关的有向线段,分别叫做角的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线. 7.例题讲解 例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。 解： 变式训练1：已知角的终边过点，求角的正弦、余弦和正切值. 解：,,. 例2．求下列各角的三个三角函数值： （1）； （2）； （3）． 解：（1）sin0=0 cos0=1 tan0=0 （2） （3）