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 PAGE 3 2.7 不等式的应用 【学习目标】 1.不等式始终贯穿在整个中学数学之中, 诸如集合问题、方程（组）的解的讨论、 函数单调性的研究、函数的定义域、值域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题， 无一不与不等式有着密切关系。 2.不等式的应用主要有两类: 一类是不等式在其它数学问题中的应用，主要是求字母的取值范围．这类问题所进行的必须是等价转化．一类是解决与不等式有关的实际问题．这类问题首先应认真阅读题目、理解题目的意义，注意题目中的关键词和有关数据，然后将实际问题转化为数学问题，即数学建模，再运用不等式的有关知识加以解决． 3.运用均值不等式求最值时，要注意是否具备使用定理的条件，即＂一正二定三等＂，三者缺一不可． 【学习重点与难点】将一个表面上看来并非是不等式的问题借助不等式的有关部门知识来解决。 【学习导航】 （一）知识梳理： 1．不等式与许多实际问题有着“千丝万缕”的联系；在生产实际中，怎样做到“成本低”，收入高?，怎样获得“最大效益”?怎样确定最佳方案?使得不等式的运用已渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容中，体现了不等式内容的重要性、思想方法的独特性，通过本节复习要熟悉这方面问题的类型和思考方法； 2．应用题中有一类是寻找最优化结果，通常是把问题转化为不等式模型，再求出最值。 （二）典型例题： 例1.经过长期观测得到：在交通繁忙时，某公路汽车的流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的关系是． （１）汽车平均速度多大时，车流量最大？ （２）若要车流量超过10千辆/小时，则汽车平均速度在什么范围内？ 例2.某公司开发了一种新产品，现准备投入适当的广告费，对产品进行促销，在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为：Q=(x0).已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若年销售额为“年生产成本的150%”与“年广告费的50%”之和，当年产销量相等。 (1)试将年利润p万元表示为年广告费x万元的函数； (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大? 例3.如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与，的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当，各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。 例4.已知直线与双曲线的左支交于两点，若另一条直线l经过点及线段的中点，求直线与轴上的截距的取值范围. 【学习总结】 【学习拓展】 （一）A层 1．若在上恒有,则实数的取值范围是 ； 2．将一块长为16,宽为10的矩形铁皮，从四角上剪去边为x的四个小正方形(),然后做成一个无盖的长方体形容器，容器的最大容积是 ； 3．函数y=的最小值为,那么的值为 ； 4．若不等式恒成立,则实数的取值范围是 ； 5．某公司印刷广告，广告正文排成矩形版面，矩形面积为S,其左右两边都留有宽为m的空白，其上、下两边都留有宽为L的空白，问如何确定版面纸张的尺寸，才??使用纸量最小? （二）B层 6．已知的定义域为，若值域中既有正数，也有负数，则a的取值范围是 . 7．要使满足不等式的的最大值为3, 则= . 8．内接于半径为R的球，并且体积最大的圆柱体的高是 .