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PAGE  PAGE 4 第二章 一元二次方程 5．一元二次方程的根与系数的关系 教学目标： 1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的两根x1，x2与系数a、b、c之间的关系。 2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下，求出方程的另一根，以及方程中的未知数。 3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。 4、在推导过程中，培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。 教学过程 一、复习回顾 内容： 1、一元二次方程的一般形式？ ax2+bx+c=0 (a≠0)（板书）??? ? ?2、一元二次方程有实数根的条件是什么？ (△=b2-4ac≥0) 3、当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？ 4、一元二次方程的求根公式是什么？ 目的：以问题串的形式引导学生思考，回忆公式法解一元二次方程的相关知识，有利于学生衔接前后知识，形成清晰的知识脉络，为后面的学习作好铺垫。 二、探究新知 内容： 计算填表 方程 两个根两根之和两根之积a与b之间关系a与c之间关系x1?x2?x1+x2?x1x2???? ?x2-2x+1=0???????x2-5x+6=0 ????????2x2+3x?+1=0 ?????? 问题： 1、你找到快速求出一元二次方程的两根和与两根积的方法了吗？??????? 2、刚才我们列举了部分方程发现两根和、两根积与系数的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有这样的关系呢？ 3、请根据以上的观察发现进一步猜想：方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根x1，x2与a、b、c之间的关系：____________。 4.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙述说明。 （分小组讨论以上的问题，并作出推理证明。） 目的：本环节采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程，使学生既动手、动脑，又动口，教师引导启发，避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系，体现学生的主体学习特性，培养了学生的创新意识和创新精神。 三、例题讲解 1、根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积 （1）x2+7x+6=0? （2）2x2-3x-2=0? 2、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 , 求它的另一个根及k的值。 四、尝试发展 尝 HYPERLINK /tk/ 试题1：根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积 （方程两根为x1，x2、k是常数） （1）2x2-3x-1=0? ????x1+x2= ________????? x1x2= ________??????????? （2）3x2+5x=0??????? x1+x2= ________??? x1x2= ________?? （3）x2+7x=-6???? x1+x2= _________???x1x2= _________?? （4）5x2+kx-6=0????? x1+x2= _________???x1x2= _________ （学生迅速演算或口算） 尝 HYPERLINK /tk/ 试题2：利用根与系数的关系，求一元二次方程2x2-3x+5=0的两个根的 （1）平方和 （2）倒数和 （3）差 尝 HYPERLINK /tk/ 试题3：已知方程6x2+kx-5=0的一个根为1，求它的另一个根及k的值。 目的：“尝 HYPERLINK /tk/ 试题1”是引导学生及时巩固本节所学的新知“根与系数的关系”，其中第（3）小题是培养学生思维严谨性和批判性；第（4）小题是起过渡作用设计。 “尝 HYPERLINK /tk/ 试题2” 将平方和、倒数和及差转化为两根和与积的代数???。例如： x12+ x22=( x1+x2)2-2 x1x2;? “尝 HYPERLINK /tk/ 试题3” 展示学生的不同作法，通过比较，学生可以体会到用根与系数的关系来解决此类问题比较简便。 四、拓展创新 1．已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c=4,求这个三角形的周长。 变式训练： 已知三角形的两边长a、b是方程x2-12x+k==0的两个根，三角形的第三条边c能等于15吗？ 2、利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3. 目的：1、第1、2题把一元二次方程根与系数的关系与三角形三边关系相组合，借此锻炼学生综合分析、推理、归纳的能力。 2、第3题已知方程的两根求作一个一元二次方程，是一元二次方程根与系数的关系的逆用，比较抽象，学生真正