5复变函数与积分变换试题及解答.docVIP

PAGE  PAGE 7 复变函数与积分变换试题 2005.11 系别_____1______ 班级__________ 学号__________________ 姓名___________ 题号一二三四五六七八总分得分 得分评卷人一、填空（每题3分，共24分）1．复数的模为_________，辐角为____________. 2．曲线在映射下的象曲线为____________. 3．____________. 4．为函数的_____级极点；在该点处的留数为_____. 5．函数仅在____________处可导. 6．设，其中，则_______. 7. 在映射下，处的旋转角为_______，伸缩率为______. 8．已知则它们的卷积____________. 得分评卷人二、（10分）验证是一调和函数，并构造解析函数满足条件. 得分评卷人三、计算下列各题（每小题5分，共25分）：1． . 2． . 3. . 4. . 5. 用留数计算，由此求出的傅里叶(Fourier)逆变换. 得分评卷人四、（12分）把函数在复平面上展开为的洛朗级数.  得分评卷人五、（6分）试求Z平面上如图所示区域在映射下的象区域. 1 –1 i –i 0 得分评卷人六、（8分）求一保形映射，把区域映射为区域.  得分评卷人七、（8分）用拉普拉斯(Laplace)变换求解微分方程满足初始条件的解.  得分评卷人八、证明题：（7分）设函数在区域内除二阶极点外处处解析，证明： .（4分） 求积分，从而证明：.（3分） 复变函数与积分变换评分细则 一、填空 1． , 2． 3． 4． 6, 0 5．（0，-1） 6．0 7. , 1 8． 二、，故为调和函数。 （2分） ， （8分） 由于，得（9分）， （10分） 三、1．， 在内，有 （2分） 原式（5分） 2． 原式 3．原式 （1分） （3分） 在 内有一阶极点 （4分） 故原式 （5分） 4．为 在上半平面的二级极点， （1分） 原式==（3分） （5分） 5．函数 在上半平面有一级极点 （1分） （2分） 原式 （3分） 四、在复平面内有两个孤立奇点 （2分） 在 与 内解析 （3分） 当时， （8分） 当 , = （9分） =（11分） （12分） 5分 4分 6分 五、 六、 4分 2分 6分 5分 8分 7分 七、设 对方程取拉氏变换 （3分）， （4分） （6分） （8分） 八、1．证明： 在 内有二阶极点 因此 在内解析无零点 （1分） 亦在 内解析 （2分） 则 = （4分） 2． （1分） 令 而 （3分）