5平面向量基本定理及坐标运算.docVIP

5．2平面向量基本定理及坐标运算 一、【教学目标】 重点：掌握用基础向量表示其它向量的方法,掌握用坐标进行平面向量的加法，减法与数乘运算． 难点：用平面向量解决几何问题时，隐含的三点共线条件的应用． 能力点：培养学生的数形结合思想，转化思想和分类讨论思想，提高分析问题、解决问题的能力． 教育点：通过平面向量基本定理把向量和坐标联系起来，培养学生辩证唯物主义观点，通过向量两种形式的线性运算，提高学生思维的严谨性． 自主探究点：1．平面向量基本定理的内容，应用； 2．恰当选择基底表示其它向量； 3．平面向量基本定理和向量共线定理的综合应用； 4．向量的坐标运算． 考试点: 平面向量的线性运算包括几何形式的运算和坐标形式的运算． 易错点：向量的夹角和三角形的内角范围区分． 易混点: 向量共线的充要条件和向量垂直的充要条件． 拓展点: 使学生进一步提高运用转化的观点来解决问题的自觉性，体会消元思想、数形结合思想和分类讨论思想等． 二、【知识梳理】 1．平面向量基本定理及坐标表示 （1）平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任意向量，__________一对实数，使＝______________． 其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组________． （2）两个向量的夹角 已知两个____向量，在平面内任取一点,作＝，＝，则 叫做向量与的夹角（如图） 向量夹角的范围是__________，当________时，两向量共线． 当____________时，两向量垂直，记作⊥． （3）平面向量的正交分解及坐标表示 把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解． （4）平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使，这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，把有序数对________叫做向量的坐标，记作＝__________，其中______叫做在轴上的坐标，______叫做在轴上的坐标． ②设，则向量的坐标就是________的坐标，即若，则点坐标为__________，反之亦成立（是坐标原点）． 2．平面向量的坐标运算 （1）向量的加法和减法 若则 （2）实数与向量的乘积 若则 （3）向量的坐标 若起点终点则 3．平面向量共线的坐标表示 设，其中，?__________________________． 三、【范例导航】 例1.如图，在平行四边形中，分别为，的中点， 已知＝，＝，试用,表示，． 【分析】选出平行四边形的两个邻边表示的向量为基底，其它向量用基底表示解方程得到． 【解答】方法一　设＝，＝ 则 ① ② 将②代入①得 ∴代入② 得:． ∴, 方法二　设＝，＝ 因为分别为DC，BC的中点所以,, 因而, 即, 【点评】　利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法及数乘进行线性运算． C B O A 变式训练： 如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为， 与的夹角为，且， 若则的值为________． 答案： 例2．已知点，，，， (1)求点在第二象限的充要条件． (2)证明：当时，不论为何实数，三点共线． (3)试求当满足什么条件时，能组成一个平行四边形． 【分析】本题的关键是写出相关向量的坐标,利用坐标结合相应位置关系确定结果． 【解答】(1)解：，　 在第二象限的充要条件是有解．∴且 (2)证明：　当时，有，∴， ∴不论为何实数，三点共线． (3)解：由，得点, ∴能组成一个平行四边形有三种情况： 当，有?； 当，有?； 当，有?． 【点评】1．向量坐标化才能有利于代数运算；此外，如何运用平行四边形的性质，找解决问题的切入口． 2．向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思想求解． 变式训练： 2．已知，，，且，，试求点，和的坐标． 答案： ∵，， ∴ ∴ 设，则， ∴∴∴． 同理可得，因此． ∴所求，,． 例3平面内给定三个向量,请解答下列问题： （1）求满足的实数； （2）若，求实数； （3）若满足，且，求． 【分析】（1）把坐标带入利用向量相等的充要条件列方程组求解；（2）利用向量共线的充要条件列方程；（3）把两个条件转化为坐标形式的方程组求解． 【解答】　（1）由题意得 ，所以，得． （2） ∵,∴ ∴ 　 （3）设,, 由题意得 , 解得或， ∴或． 【点评】（1）运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合