6复变函数与积分变换试题及解答.docVIP

PAGE  PAGE 16 2006—2007学年第一学期 《复变函数与积分变换》课程考试试卷（A） （闭卷） 院（系）_____1______专业班级__________学号__________姓名___________ 考试日期：2006年11月25日 考试时间：19∶00～21∶30 题号一二三四五六七八九十总分得分 得 分一、填空题（每小题3分，共24分）评卷人1．的值为___________________，主值为______________. 2．；且所表示的平面点集是区域吗？__________是单连域还是多连域？_____________. 3．_______. 4．在映射下，集合的像集为： _____________________________________________________ . 5．为的____阶极点. 6．在 处展开成Taylor级数的收敛半径为_______ 7．的频谱密度函数____________________. 8．已知，其中，则___________. 得 分评卷人二、（6分）设a、b是实数，函数在复平面解析. 求出a、b的值，并求. 得 分评卷人三、（8分）验证是调和函数，并求以为实部的解析函数，使. 得 分评卷人 四、（6×4=24分）计算下列各题： 1．，C为正向圆周. 2．，C为正向圆周. 3． 4． 得 分评卷人五、（10分）将在处展成Laurent级数. 得 分评卷人六、（6分）试求z平面的下半平面在分式线性映射下的象区域. 得 分评卷人七、（8分）求一保形映射，把区域 映成单位圆内部. 得 分评卷人八、（8分）用Laplace变换求解常微分方程： 得 分评卷人九、（6分）证明题：设在内解析，在上连续，试证：当时， 复变函数与积分变换试题解答 2006.11. 系别___________班级__________学号__________姓名___________ 题号一二三四五六七八九总分得分 得分评卷人一、填空题（每小题3分，共24分）1．的值为，主值为 . 2．；且所表示的平面点集是区域吗？ 是 ，单连域还是多连域？ 单连域 。 3． 0 。 4．在映射下，集合的像集为： . 5．为的 1 阶极点。 6．在 处展开成Taylor级数的收敛半径为 . 7．的频谱密度函数 。 8．已知，其中，则。 得分评卷人二、（6分）设a、b是实数，函数在复平面解析，则分别求a、b之值，并求.解：是复平面上的解析函数，则在平面上满足C—R方程，即： 故 对 成立， 得分评卷人三、（8分）验证是z平面上的调和函数，并求以为实部的解析函数，使.解：（1） 故是调和函数。 （2）利用C—R条件，先求出的两个偏导数。 则 由 故 得分评卷人四、（6×4=24分）计算下列各题： 1．，设C为正向圆周。 解：令 ，则由高阶求导公式得： 原式 2．，C为正向圆周。 解: 在C内，有本性奇点，由留数定理：原式 在 内将 展为Laurent级数： 故： 3． 解：由于是偶函数，故 原式 令 则定积分可化为复积分 令 则 在 内有2个简单极点与 由留数定理知： 故原式 4． 解：令 容易验证满足若尔当引理 在上半平面有两个简单极点 原式 得分评卷人五、（10分）将在处展成Laurent级数。解：在复平面有孤立奇异点与， （1）时， （2） 时 （3） 时 （4） 时 得分评卷人六、（6分）试求z平面的下半平面在分式线性映射下的象区域. 解：在实轴上依次取， 1 w3 w1 w2 u v 由分式线性映射的保圆性知： 决定了 故 实轴在 下的象区线为单位圆周，再由边界对应原理知：在下的象区域为。 得分评卷人七、（8分）求一保形映射，把区域 映成单位圆内部。 解： x y z -1 1 1 1 1 u v 得分评卷人八、（8分）用Laplace变换求解常微分方程：解：令 ，对方程两边求拉氏变换得： 得分评卷人九、（6分）证明题：设在内解析，在