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PAGE  PAGE 36 无穷小与无穷大 1.6.1 无穷小 定义1.8 若，则称函数为当时的无穷小. 一般地，若某一个变量在某一极限过程中，以零为极限，则称该变量为这个极限过程中的无穷小. 定理1.13 可以表示为 其中是当时的无穷小. 例1 是当时的无穷小. 这是因为，当时，，而，故从而 于是故是当时的无穷小. 定理1.14 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小. 例1—6—3 证明 证 因是当时的无穷小，是有界函数，故是当时的无穷小，于是 1.6.2 无穷大 定义1.9 设函数在点的某一去心邻域内有定义，且对任意给定的正数，存在正数，使得当时，有 则称函数为时的无穷大，记为 如是当时的无穷大. 问：如何定义等等. 例1—6—4 证明（如图） 证 ，要使只需 故取正数，则当时，有故 定理1.15 在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大. 证 设 由无穷大的定义，对于正数存在正数使得，当时，有 即 故为时的无穷小. 反之，设 .由无穷小的定义，对于正数，存在正数使得，当时，有 因，故 于是，为当时的无穷大. 类似可证时的情形. 1.6.3 无穷小阶的比较 设及都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，而是在这个变化过程中的极限. 定义1.10 （1）如果就说与是同阶的无穷小； （2）如果就说是与等价的无穷小，记为； （3）如果，就说是比高阶的无穷小，记为； （4）如果，就说是比低阶的无穷小. 如： 因，故当时，与是同阶无穷小. 因，故当时，与是等价无穷小.即 因，故当时，是比高阶的无穷小.即 因，故当时，是比低阶的无穷小. 定理1.6 若都是某一极限过程中的无穷小，且，极限存在，则极限存在，且 证 例1—6—5 求 解 因故 例1—6—6 求 解 因当时， 故 作业：P48 6, 8.（3） 部分习题解答： 5.根据定义证明：函数为当时的无穷大.问应满足什么条件，能使？ 证 因当时， 另一方面，，要使，只需.故取正数，则当时，有 故为当时的无穷大. 由以上结论得，当时， 6.当时，与相比哪一个是高阶无穷小？ 解 当时，与都是无穷小.因 故当时，是比高阶的无穷小. 8.求下列极限： （3） 解 因 故