5高考数学(人教通用,理科)必考题型过关练：函数与导数5练.docVIP

第15练　导数与单调性 [内容精要]　利用导数研究函数的单调性是必考内容，多以综合题中某一问的形式考查，其出题内容也多种多样，最根本的还是定义中提到的．单调性主要是由函数的导函数在某个区间上的符号来确定． 题型一　利用导数求函数的单调区间 例1　函数y＝12x2－ln x的单调递减区间为(　　) A．(－1,1] B．(0,1] C．[1，＋∞) D．(0，＋∞) 破题切入点　求出函数的导函数f′(x)，根据定义解不等式f′(x)0即可，求解时注意函数的定义域． 答案　B 解析　根据函数的导数小于0的解集就是函数的单调减区间求解． 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)， 又由y′＝x－1x≤0，解得0x≤1， 所以函数的单调递减区间为(0,1]． 题型二　已知函数在某区间上的单调性求参数的值或范围 例2　已知函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于(　　) A．1 B．2 C．0 D.2 破题切入点　函数f(x)在(0,1)上为减函数，g(x)在(1,2)上为增函数，利用导函数f′(x)≤0在[0,1]上恒成立，g′(x)≥0在[1,2]上恒成立解出两个a的取值范围，求出交集即可． 答案　B 解析　∵函数f(x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数， ∴a2≥1，得a≥2. 又∵g′(x)＝2x－ax，依题意g′(x)≥0在x∈(1,2)上恒成立，得2x2≥a在x∈(1,2)上恒成立，有a≤2，∴a＝2. 题型三　与函数导数、单调性有关的图象问题 例3　已知函数y＝－xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，y＝f(x)的图象可能是(　　) 破题切入点　先由y＝－xf′(x)的图象找出f′(x)的符号，再根据f′(x)的符号找出f(x)的大致图象． 答案　B 解析　由函数y＝－xf′(x)的图象知，x－1时，f′(x)0，f(x)为增函数；－1x0时，f′(x)0，f(x)为减函数；0x1时，f′(x)0，f(x)为减函数；x1时，f′(x)0，f(x)为增函数．故B选项的图象符合． 总结提高　(1)利用导数判断函数单调性的一般步骤： ①确定函数的定义域． ②求导函数f′(x)． ③若求单调区间或证明单调性，只需在函数f(x)的定义域内解或证明不等式f′(x)0或f′(x)0；若已知函数f(x)的单调性则转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解，一般是利用函数与方程思想，将字母分离出来． (2)利用导数解决函数单调性应注意的问题： ①单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，首先要求函数的定义域，因为函数求导之后，自变量的取值范围可能会发生变化． ②求可导函数的单调区间即为解不等式，若已知函数单调性求参数范围，转化为恒成立问题，注意验证所得参数范围的端点值． 1．若函数h(x)＝2x－kx＋k3在(1，＋∞)上是增函数，则实数k的取值范围是(　　) A．[－2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2] D．(－∞，2) 答案　A 解析　由条件得h′(x)＝2＋kx2＝2x2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)． 2．已知f(x)＝14x2＋sin(π2＋x)，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是(　　) 答案　A 解析　f(x)＝14x2＋sin(π2＋x)＝14x2＋cos x， f′(x)＝12x－sin x. 易知该函数为奇函数，所以排除B、D. 当x＝π6时，f′(π6)＝12×π6－sin π6＝π12－120，可排除C.选A. 3．若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf′(x)－f(x)恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是(　　) A．af(b)bf(a) B．af(a)bf(b) C．af(a)bf(b) D．af(b)bf(a) 答案　B 解析　令F(x)＝xf(x)， 则F′(x)＝xf′(x)＋f(x)，由xf′(x)－f(x)， 得xf′(x)＋f(x)0， 即F′(x)0， 所以F(x)在R上为递增函数． 因为ab，所以af(a)bf(b)． 4．(2014·课标全国Ⅱ)若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增，则k的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，－1] C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　D 解析　由于f′(x)＝k－1x，f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)单调递增⇔f′(x)＝k－1x≥0在(1，＋∞)上恒成立． 由于k≥1x，而01x1，所以k≥1.即