6高考轮复习数学：向量的概念向量的加法与减法实数与向量的积.docVIP

第五章 平面向量 ●网络体系总览 ●考点目标定位 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念. 2.掌握向量的加法与减法的运算律及运算法则. 3.掌握实数与向量的积的运算律及运算法则. 4.了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. ●复习方略指南 向量是数学中的重要概念，它广泛应用于生产实践和科学研究中，其重要性逐渐加强.从近几年高考试题可以看出，主要考查平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量的数量积、图形的平移等基本概念、运算及简单应用.随着新教材的逐步推广、使用，“平面向量”将会成为命题的热点，一般选择题、填空题重在考查平面向量的概念、数量积及其运算律.本单元试题的常见类型有： （1）与“定比分点”有关的试题； （2）平面向量的加减法运算及其几何意义； （3）平面向量的数量积及运算律，平面向量的坐标运算，用向量的知识解决几何问题； （4）正、余弦定理的应用. 复习本章时要注意： （1）向量具有大小和方向两个要素.用线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系，同向且等长的有向线段都表示同一向量. （2）共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础. （3）向量的加、减、数乘积是向量的线性运算，其结果仍是向量.向量的数量积结果是一个实数.向量的数量积，可以计算向量的长度、平面内两点间距离、两个向量的夹角，判断相应的两条直线是否垂直. （4）向量的运算与实数的运算有异同点，学习时要注意这一点，如数量积不满足结合律. （5）要注意向量在几何、三角、物理学中的应用. （6）平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考的重点，复习中要注意培养准确的运算能力和灵活运用知识的能力.  5.1 向量的概念、向量的加法与减法、实数与向量的积 ●知识梳理 1.平面向量的有关概念： （1）向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. （2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用字母a，b，…或用，，…表示. （3）模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或||. （4）零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. （5）单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量. （6）共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. （7）相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量. 2.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. （3）运算律：a+b=b+a；（a+b）+c=a+（b+c）. 3.向量的减法： （1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. （2）法则：三角形法则；平行四边形法则. 4.实数与向量的积： （1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行. （2）运算律：λ（μa）=（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b）=λa+λb. 5.两个重要定理： （1）向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥ab=λa（a≠0）. （2）平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a=λ1e1+λ2e2. ●点击双基 1.（2004年天津，理3）若平面向量b与向量a=（1，－2）的夹角是180°，且|b|=3，则b等于 A.（－3，6） B.（3，－6） C.（6，－3） D.（－6，3） 解析：易知a与b方向相反，可设b=（λ，－2λ）（λ＜0）.又|b|=3=，解之得λ=－3或λ=3（舍去）.∴b=（－3，6）. 答案：A 2.（2004年浙江，文4）已知向量a=（3，4），b=（sinα，cosα），且a∥b，则tanα等于 A. B.－ C. D.－ 解析：由a∥b，∴3cosα=4sinα.∴tanα=. 答案：A 3.若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，=b，则等于 A.b+a B.b－a C.a+b D.a－b 解析：=－=+－=+－=b－a. 答案：B 4.e1、e2是不共线的向量，a=e1+ke2，b=ke1+e2，则a与b共线的充要条件是实数k等于 A.0 B.－1 C.－2 D.±1 解析：a与b共线存在实数m，使a=mb， 即e1+ke2=mke1+me2.又e1、e2不共线，