7空间向量及其运算.docVIP

7.6 空间向量及其运算 一、选择题 1．对于空间三个向量a、b、a＋2b，它们一定是(　　) A．共线向量 B．共面向量 C．不共线向量 D．不共面向量 答案：B 2．若{a、b、c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是(　　) A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－b C．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b 解析：若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、 c为共面向量，此与{a、b、c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空 间向量的一组基底． 答案：C 3．P为正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心，则 等于(　　) A． B．3 C．6 D．0 答案：C 4．以下四个命题中正确的是(　　) A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示 B．若{a、b、c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组 基底 C．△ABC为直角三角形的充要条件是＝0 D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底 解析：若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b ＋(λ＋μ)c，λ、μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝eq \f(λ－1,1－μ)　b＋eq \f(λ＋μ,1－μ)c，则a、b、c为共 面向量，此与{a、b、c}为空间向量基底矛盾． 答案：B 二、填空题 5．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是________． ①；②； ③； ④； 解析：∵，∴，则、、为共面向量， 即M、A、B、C四点共面． 答案：③ 6．已知e1、e2、e3为不共面向量，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1－e2＋e3，c＝e1＋e2－e3， d＝e1＋2e2＋3e3，且d＝xa＋yb＋zc，则x、y、z分别为______________． 解析：由d＝xa＋yb＋zc得e1＋2e2＋3e3＝(x＋y＋z)e1＋(x－y＋z)e2＋(x＋y－z)e3， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝1，,x－y＋z＝2，,x＋y－z＝3，))解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝－\f(1,2)，,z＝－1.)) 答案：eq \f(5,2)，－eq \f(1,2)，－1 7．下列命题中，正确的命题个数为________． ①；②|a|－|b|＝|a＋b|是a、b共线的充要条件；③若a与b共面， 则a与b所在的直线在同一平面内；④若，???P、A、B三点共线． 答案：1 三、解答题 8．证明三个向量a＝－e1＋3e2＋2e3，b＝4e1－6e2＋2e3，c＝－3e1＋12e2＋11e3共面． 证明：若e1、e2、e3共面，显然a、b、c共面；若e1、e2、e3不共面，设c＝λa＋μb， 即－3e1＋12e2＋11e3＝λ(－e1＋3e2＋2e3)＋μ(4e1－6e2＋2e3)， 整理得－3e1＋12e2＋11e3＝(4μ－λ)e1＋(3λ－6μ)e2＋(2λ＋2μ)e3， 由空间向量基本定理可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4μ－λ＝－3，,3λ－6μ＝12，,2λ＋2μ＝11，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(λ＝5，,μ＝\f(1,2)，))即c＝5a＋eq \f(1,2)b，则三个向量共面． 9．求证：空间四边形对角线互相垂直的充要条件是对边平方和相等． 证明：设＝a，＝b，＝c，充分性证明：则＝a＋b－c. 根据已知条件：a2＋(a＋b－c)2＝b2＋c2，整理得：a2＋a·b－a·c－b·c＝0， 即(a＋b)·(a－c)＝0，因此AC⊥BD. 必要性证明：∵(a＋b)·(a－c)＝0，∴a2＋a·b－a·c－b·c＝0. 即a2＋(a＋b－c)2＝b2＋c2，因此. 10．如右图，在空间四边形SABC中，AC、BS为其对角线，O为△ABC的重心，试 证： (1)；(2) ． 证明：(1) ，① ，② ，③ ①＋②＋③得. (2) ，④ ，⑤ ，⑥ 由(1)得：. ④＋⑤＋⑥得3即SO＝eq \f(1,3)()． 1．已知向量{a，b，c}是空间的一组基底，向量{a＋b，a－b，c}是空间的另一组基底， 一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1,2,3)，求在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标． 解答：设p在基底{