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Clever Euler formula ? Changsha ? ?2011-4-9? PAGE  PAGE 5 巧妙的欧拉公式 作者：刘伟（湖南师范大学数计院） 摘要：欧拉公式在高等数学中有着很高的地位，巧妙地运用欧拉公式来解题有时可达到简洁、清晰之效果。本文主要从欧拉公式的推导及证明方面给出一些技巧、方法，以帮助大家更好的学习高等数学知识。 关键词：五朵金花 欧拉公式 泰勒公式 数学中有著名的“五朵金花”：0,1（都来自算术），i(来自代数学)，（来自几何学），e（来自分析学）。妙不可言的是这“五朵金花”居然同时绽开在一个公式——中，他发表在欧拉1748年的名著《无穷分析引论》中。 在这个“五朵金花公式”中，两个最著名的超越数结伴而行，实数与虚数熔于一炉，被誉为“整个数学中最卓越的公式之一”。那么，这个优美、简洁而神秘的式子是怎么来的呢？ 首先，我们利???微分学知识来简单的推导一下： 用泰勒幂级数展开式将展开，就得到 而 ， 所以 （1） 这就是著名的“欧拉公式”。 设欧拉公式中的，就得到 即 再设（1）式中的，就得到 （2） 由（1）（2）两式不难得到三角函数的复指数式形式： （3） （4） （5） 值得一提的是，他们的“样子”分别和双曲函数惊人的相似但却又有所不同： 欧拉公式可以用来巧妙地解题，请看以下例题： 【例】求的值.[1] 解：由（3）式，则 现在，我们再次证明在之前解题中大显神通的欧拉公式 . 在数学分析[2]中，我们已经知道 由此可得 （6） 由于复数的三角函数式的幅角 所以 （7） 再根据隶莫弗公式[3]有 （8） 结合（6）式对（8）式两边同时取极限，就有 （9） 以下分别求出（9）式中的两个极限： 设，得到，当时，. 由此得 （10） 再设，就得到，且，当时，. 于是有 ， （11） 最后，将（10）和（11）式代回（9）式，就得到欧拉公式 参考文献： [1].陈仁政.2005.不可思议的e.科学出版社 [2].复旦大学欧阳光中等.2006.数学分析.高等教育出版社 [3].同济大学.1998.高等数学.高等教育出版社 复变函数论里的欧拉公式 　　e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是 HYPERLINK /view/1926440.htm \t _blank 虚数单位。它将 HYPERLINK /view/91555.htm \t _blank 三角函数的定义域扩大到 HYPERLINK /view/10078.htm \t _blank 复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。 　　e^ix=cosx+isinx的证明： 　　因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… 　　cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… 　　sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 　　在e^x的展开式中把x换成±ix. 　　(±i)^2=-1, (±i)^3=?i, (±i)^4=1 …… 　　e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!?x^3/3!+x^4/4!…… 　　=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 　　所以e^±ix=cosx±isinx 　　将公式里的x换成-x，得到： 　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：  HYPERLINK /albums/398/398.html \l 0$020e66f0abf529d67831aa7e \o 查看图片 \t _blank ?? sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉??式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到： 　　e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将