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N元向量空间 所有的N维向量的集合被叫做N维向量空间，或者简单的说是N空间。我们用来表示这个空间。 现在我们介绍一个新的乘法，它叫做中两个向量的点乘或者标量乘法。 定义 假如和是中的两个向量，用来表示点乘，并且 。 这样为了计算，我们把和中相应的元素做乘积，然后把所有的乘积加起来。这样的乘法有以下的代数性质。 定理1 对于中的所有的向量、、和所有的标量，我们有以下的性质： （a） （交换律） （b） （分配律） （c） （齐性） （d） （正性） （e） 证明 前三个性质用定义很容易得到，留作练习。为了证明最后两个，我们用。因为每一项都是非负的，所以和是非负的。而且和是0当且仅当和中的每一项都是0，即。 点乘有一个有趣的集合解释，在第5部分进行了描述。然而，在我们讨论这个之前，我们提到了一个关于点乘的重要的不等式，它是向量代数的基础。 定理2 柯西—施瓦兹不等式。假如、是中的向量，则 （6.1）， 且等号成立的充要条件是其中一个矢量是另一个矢量的某个标量的倍数。 证明 通过陈述（6.1）中与元素有关的每个成员，我们获得， 这个不等式已经在定理1.4中证明过。 我们展示另一个与元素无关的（6.1）的证明。这样的证明是有趣的，因为它显示了柯西—施瓦兹不等式是定理一中列举出的5个性质的结果，而没有使用定义来导出这个性质。 为了进行证明，首先我们可以观察到，假如或者是零向量，则（6.1）显然成立。因此，我们假设、都不是零向量。 令，其中，。 性质（d）和（e）必然包含，当把它看成关于和的不等式时，它将会产生（6.1），为了用和表示它，我们用性质（a），（b），（c）去获得 用和的定义和不等式，我们得到。 性质（d）隐含当，所以我们将上式除以来得到， 这就是（6.1）。这个证明也显示了（6.1）中等号成立当且仅当。但是当且仅当。反过来，等号成立当且仅当其中一个矢量是另一个矢量的某个标量的倍数。 柯西—施瓦兹不等式对或定额长度的向量有一个重要的应用，下面我们将讨论这个概念。 图3—3—3显示一个平面上的一个集合向量，它从原点开始指向点。运用毕达哥拉斯定理，我们可以求出的长度，运用公式 . 图3—3—4显示3维空间中的相应的图。运用两次毕达哥拉斯定理，我们可以求出求出的长度，运用公式 Fig.3-3-3 Fig.3-3-4 在任意一种情况下，都有，即与它自己的点乘的平方根。这个公式给出了介绍N维空间中长度概念的一种方法。 定义 假如是中的一个向量，它的或定额长度用来表示，用等式 来定义。点乘的基本性质导致了相应的规范性质。 定理3 假如是中的一个向量，是一个标量，有如下性质： （a） （正性） （b） （c） （齐性） 证明。性质（a）（b）有定理1的性质（d）（e）产生。要证明性质（C），我们采用点乘的齐性性质来获得 柯西—施瓦兹不等式从理论上来讲是规范的规定，它声明： （6.2） 取每一项的平方根，可以得到 （6.3） 现在我们可以用柯西施瓦兹不等式导出三角不等式 定理4 三角不等式。假如和是中的向量，则 而且，等号成立当且仅当，或者，或者对于一些，。 证明，为了避免平方根，我们采用三角不等式的等价分解形式 （6.4） 不等号左边 而且右边 比较这两个公式，可以看到（6.4）成立当且仅当 （6.5） 又因为，所以（6.5）式由（6.3）产生。这证明了三角不等式是柯西—施瓦兹不等式的结果。 逆向证明也是正确的。所以，假如三角不等式成立那么（6.5）对于和也成立，由此我们可以得到（6.2）。假如在（6.4）式中的等号成立，那么，所以对于一些标量，。因此，。假如，这暗示着。假如，那么，并且。