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PAGE  PAGE 29 不定积分与定积分 主讲姜进进 4.1 不定积分 一、教学要求： 不定积分的定义：原函数、不定积分、积分基本公式、不定积分加法与数乘。不定积分的求法； （1）理解原函数、不定积分的定义及关系； （2）熟记不定积分的基本公式，会不定积分的加法数乘运算； （3）会换元积分法：第一换元法、第二换元法； （4）分部积分法：理解分部积分法的推导，能用分部积分法求一些标准型不定积分。 重点：原函数、不定积分的定义及关系，不定积分的基本公式，不定积分的加法数乘运算，第一换元法、第二换元法，分部积分法 难点：第一换元法、第二换元法，分部积分法 三、教学内容： 第二章讨论了如何求一个函数的导数（微分）问题，现在来讨论它的逆问题，即要由一个函数的已知导数（微分），求???来的函数问题，即求不定积分. 4.1.1 不定积分的概念与性质 定义1 设是定义在某区间上的已知函数. 若存在一个函数,对于该区间上每一点都满足：或,则称是 在该区间的一个原函数. 例如 已知,由于满足 ,所以是的一个原函数. 同理，等也都是的原函数. 由此可知，已知函数的原函数不止一个. 若是的一个原函数，则 也是的原函数.且若,都是的原函数则，知,即它们仅相差一个常数.因此，若是的一个原函数，则的所有原函数可以表示为 . 定义2 函数的所有原函数，称为函数的不定积分，记作其中称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，“”称为积分号. 显然，若是的一个原函数，则由定义2可知其中C是任意常数. 因此，求函数的不定积分，只需求出的一个原函数,再加上任意常数C即可. 例如 例1 求函数的不定积分 解 （1）当时， 所以 （2）当时， 所以 合并（1）（2）两式得到： 由不定积分的定义即可知不定积分具有如下性质： 1. 求不定积分与求导数或微分互为逆运算 （1） 或 （2） 或 2. 因为，说明是的原函数. 3. 因为 故有两个函数代数和的不定积分等于各个函数不定积分的代数和，这个公式可以推广到任意有限多个函数的代数和的情况. 4.1.2 基本不定积分公式 由导数的基本公式对应地可以得到下面基本不定积分公式. （1） （为常数） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） （13） 例2 求 解 原式. 注意 这里三个不定积分本来应该有三个任意常数，经过代数和之后，只要用一个任意常数即已足够.下面类似情况就不特别加以说明. 例3 求 解 原式 例4 求 解 原式 例5 设某厂生产某种商品的边际收入为 ，其中为该商品的产量，如果该产品可在市场上全部售出，求总收入函数. 解 因为，两边积分得 又因为当时，总收入，从而. 所以总收入函数为. 4.1.3 不定积分的几何意义 若是的一个原函数，则曲线称为的一条积分曲线，将其沿轴方向任意平行移动，就得到积分曲线族. 在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，这些切线都是相互平行的，如图4.1. 图 4.1 不定积分在几何上就表示全体积分曲线所组成的积分曲线族，它们的方程为. 例6 求过点且在点处切线斜率为的曲线方程. 解 设所求曲线方程为，因为，由不定积分定义，有 因所求的曲线过点，代入得到. 于是所求的曲线方程为. 4.1.4 不定积分换元法和分部积分法 利用基本不定积分公式及性质只能求一些简单的不定积分，对于比较复杂的不定积分，我们需要进一步方法，下面简单介绍第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法，详细可参阅参考书[1]、[2]. 应该指出现在许多数学软件，如Mathematica ，Matlab等都具有求不定积分功能，读者可以借助数学软件求不定积分，也可以通过查积分表求不定积分. 1. 第一类换元积分法 例7 求 解 选择新变量，则 原式 第一类换元积分法主要在于选择新的变量其中为连续可导的, 原不定积分转换为可以使用基本不定积分公式. 为选择好新的变量,往往把原不定积分被积表达式凑成微分的形式，便于使用基本公式，求出积分后，再还原为原积分变量. 例8 求 解 例9 求 解 2. 第二类换元积分法 第一类换元积分法是选择新变量，但对某些不定积分，则需要作相反的