Jordon标准形的变换与应用.docVIP

PAGE  PAGE 7 第六讲 Jordon 标准形的变换与应用 Jordon标准形变换矩阵的求法 将P按J的结构写成列块的形式 求解r个矩阵方程 将r个合成变换矩阵 ★ 关于方程 的求解 两种具体做法: (ⅰ) 按照的顺序求解，即先求出特征向量，然后由后续方程求出、、…；（ⅱ）先求的特征向量，然后直接得到。 前一做法由于为奇异矩阵，每一步均存在多解及无解问题，故各步之间不能完全独立，前一步尚需依赖后一步、再后一步、…，直至最后一步才能完全确定一些待定系数；而后一做法仅出现一次求解方程，其余为直接赋值，无上述问题。但又可能导致低阶出现零向量的问题。 由于 故应满足：但 同一特征值可能出现在不同的Jordan块中，对于这种情况，按各Jordan块阶数高低一次进行处理???高阶先处理，低阶后处理，同阶同时处理。 最高阶（没有属于同一特征值的Jordan块同阶）可按下述方法求出，即使但的作为。 然后由方程依次求出直至且等于下一个属于同一特征值的Jordan块的阶数。 对于上述新Jordan块，它的不仅要考虑到满足 但， 而且还应与前述线性无关。 其它属于同一特征值的Jordan块处理时，按照（2）的原则处理即可。 出现多个属于同一特征值的Jordan块同阶时，还应考虑线性无关问题。 例：求的Jordan标准形及其变换矩阵。 [解]：上一讲已求出其Jordan标准形，也可按如下方法求得。 ()可采用初等变换化为 按此得出Jordon标准形 同时可见,即匀为三重特征值. 下面求变换矩阵P （1）的Jordon矩阵仅有一块， 先求，应满足 求 设 其通解为 其通解为 可取＝ （2）对存在两个Jordan块， ，， 分别对应， 从入手：， 取 ： 与应线性无关，可取 （3）合成变换矩阵 存在 可以验证: 二、 Jordan标准形的幂及多项式 , 即, 亦为类似的上三角形条带矩阵,在与主对角线平行的斜线上各元素相等. 其中第一行的元素依次为 设有多项式.则 又 …… 故 这就是说, 仍为上三角矩阵, 在与主对角线平行的斜线上各元素均相等, 而 其第一行元素依次为 （无论是否大于） 若, 则计算十分方便,无需再采用矩阵乘积. 作业: P107 11