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PAGE  PAGE 12 JS032A项目结题报告 项目名称： 数学教育专业主干课程教学内容和课程体系的研究与实践 批准号： JS032A 执行年限： 1998-2000 项目组成员： 王昆扬（负责人）、刘继志、郇中丹、高红铸、王幼宁、郝炳新、黄惟明、惠昌常、张英伯、保继光、 一、项目的目标及指导思想 本项目的基本目标是通过对于大学数学系主干课程的改革的历史、现状进行调查研究，在充分研讨、论证的基础上，对于数学系本科主干课程的内容和教学体系进行改进，写出有特色的新教材，并在本科生中试讲。 数学分析一直是大学数学系教学改革的目标，历经几十年，现在仍然在改。本项目密切结合教学实践，重点对于数学分析课程的改革进行了深入的研究，同时也对微分几何课程内容的改革进行了探讨。经过深入研究我们形成了如下的见解，并用以指导我们的改革实践。 基础课??材的内容应该适应科学技术的发展,坚持高的学术水平。马克思的观点，“在科学上面没有平坦的道路可走” 仍然是值得相信的。改革绝不是为了回避困难、掩盖困难。大学数学系的教学改革的目的是为了培养适应社会多方面的需要的、各种类型的高水平人才；师范大学更要注意培养高素质的教育、教学人才。 基础课教材的内容应该适于贯彻因材施教的方针。随着高等教育的不断发展，考入大学的学生的基础水平的差异变大了。这种差异，不仅表现在不同的学校之间，而且也明显地表现在同一个学校、同一个班级的学生之间。这就要求在教学中特别要注意贯彻因材施教的方针。在教材的设计上，要兼顾到各类学生的不同需求和不同的接受能力。对于能力差的，不要提不切实际的高要求。对于能力强的要鼓励他们“冒尖” 。让学得好的带动学的不太好的。 基于上述观点，我们在编教材时，尽力做到内容的现代化、知识含量大、叙述严格简洁。决不回避以往被认为是困难，然而事实上是很重要的内容；也不回避不同学科之间的联系，甚至有意识地引导学生做学科的延拓。对于不同的学生提不同的学习要求。在规定出容易达到的基本标准求的同时，给学生提供充分的发展余地。 二、已发表的教改论文 [1] 王昆扬, 关于 Riemann 积分理论的本质缺陷及以 Lebesgue积分取代之的看法, 数学教育学报,8 (1999)No.3,95-98. [2] 王昆扬, 怎样讲实数理论, 高等数学研究, 专集, 1999, 1-5 [3] 郇中丹, 对师范大学本科数学专业《数学分析》课程改革的几点意见, 数学教育学报, 2001年第二期 三、已完成的新教材 王昆扬：《简明数学分析》（正在申报作为面向21世纪教材出版） 这本书注重知识的系统性、严格性和学生认识的连贯性，在许多方面打破了传统，或者说有明显特色。下面简单地说一说在哪些方面打破了传统，有什么道理。 (1) 对于刚上大学的学生,在第一章中就严格地讲授实数的定义。这是因为学生们早已在初中二年级就已经知道“无限不循环小数是无理数”,“有理数和无理数统称为实数”。要讲清“无限不循环小数是无理数”及“无限循环小数是有理数”,必须引入极限的概念。我们分析了以往大多数数学分析课本对于实数概念的讲法.感到常用的Dedekind方法,即使是对于高年级学生,也是费解的。而且这种分割的方法,要用到有理数之间有大小关系这一特殊性质,不能推广应用于一般距离空间的完备化。我们承袭学生从初中就已接受的认识,着力用极限的观点把这个概念讲解清楚。即使部分学生一时理解不透，以后在学泛函分析，遇到距离空间的完备化的时候，认识也必有一大提高。这可以说是这本书的第一个“打破常规”的地方。 (2) 实数讲清楚了，往下逻辑上很顺畅.我们没有等到后面单独讲授级数理论的时才遇到∑。事实上，学生们在中学早就知道等差级数和等比级数了。讲完数列的极限，级数的概念就自然出来了.这样，第二个打破常规之处就是毫不犹豫地定义函数 ∞　　１ f(x)=∑ — xk 　　x∈R k=0　 k！ 并把f(1)记作e，把f(x)记作ex。给学生们讲清楚这就是他们在中学就知道的指数函数。学生们早就熟悉这个函数的各种性质了.但是,不使用极限概念,就不可能真正理解这个函数。以往常用 lim (1+ x/n)n 来定义f(x)，很不直截了当，显得过于技巧化，不如以其作为习题。 n→∞ 有的教科书中害怕一开始就严格引入指数函数的定义,就象害怕引入实数定义一样,结果是不得不做许多繁琐的不严格的描述。 (3) 第三个打破常规之处，是把单变量和多变量一块儿讲。目的有二。其一，强化学生对于多变量函数的认识。现代科学技术的发展对于多变量函数的理论的需求越来越高。针对以往对于多变量理论的讲述不够充分及把单变量和多变量分开讲的负面效果, 尝试把单变量理论与多变量理论统一起来讲是有益的。何