Jumzc《数学分析》具有某些特性的函数.docVIP

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。 －－泰戈尔 授课章节：具有某些特性的函数 教学目的：熟悉与初等函数性态有关的一些常见术语. 教学目的：深刻理解有界函数、单调函数的定义；理解奇偶函数、周期函数的定义；会求一些简单周期函数的周期。 教学重点：函数的有界性、单调性。 教学难点：周期函数周期的计算、验证。 教学方法：有界函数讲授，其余的列出自学题纲，供学生自学完成。 教学程序： 引言 在本节中，我们将介绍以后常用的几类具有某些特性的函数，如有界函数、单调函数、奇偶函数与周期函数。其中，有些概念在中学里已经叙述过，因此，这里只是简单地提一下。与“有界集”的定义类似，先谈谈有上界函数和有下界函数。 有界函数 有上界函数、有下界函数的定义 定义１ 设为定义在Ｄ上的函数，若存在数，使得对每一个有，则称为Ｄ上的有上（下）界函数，称为在Ｄ上的一个上（下）界。 注：（１）在Ｄ上有上（下）界，意味着值域是一个有上（下）界的数集；（２）又若为在Ｄ上的一个上（下） 界，则任何大于Ｍ（小于Ｌ）的数也是在Ｄ上的上（下）界。所以，函数的上（下）界若存在，则不是唯一的，例如：，１是其一个上界，下界为－１，则易见任何小于－１的数都可作为其下界；任何大于１的数都可作为其上界；（3）任给一个函数，不一定有上（下）界；（4）由（１）及“有界集”定义，可类比给出“有界函数”定义： 在Ｄ上有界是一个有界集在Ｄ上既有上界又有下界在Ｄ上的有上界函数，也为Ｄ上的有下界函数。 2．有界函数定义 定义２ 设为定义在Ｄ上的函数。若存在正数Ｍ，使得对每一个有，则称为Ｄ上的有界函数。 注：（１）几何意义：为Ｄ上的有界函数，则的图象完全落在和之间；（２）在Ｄ上有界在Ｄ上既有上界又有下界；例子：；（3）关于函数在Ｄ上无上界、无下界或无界的定义。 3．例题 例１．证明　为上的无上界函数。 例２．设为Ｄ上的有界函数。证明：（１）； （２）. 单调函数 定义３ 设为定义在Ｄ上的函数， （１）若，则称为Ｄ上的增函数；若，则称为Ｄ上的严格增函数。（２）若，则称为Ｄ上的减函数；若，则称为Ｄ上的严格减函数。 例３．证明：在上是严格增函数。 例４．讨论函数在Ｒ上的单调性。 例５．讨论函数在Ｒ上的单调性。 注：１）单调性与所讨论的区间有关。在定义域的某些部分，可能单调，也可能不单调。所以要会求出给定函数的单调区间；２）严格单调函数的几何意义：其图象无自交点或无平行于轴的部分。更准确地讲：严格单调函数的图象与任一平行于轴的直线至多有一个交点。这一特征保证了它必有反函数。 总结得下面的结论： 定理１．设为严格增（减）函数，则必有反函数，且在其定义域上也是严格增（减）函数。 例　讨论函数在上反函数的存在性；如果在上不存在反函数，在的子区间上存在反函数否？ 结论：函数的反函数与讨论的自变量的变化范围有关。 例　证明：当时在Ｒ上严格增，当时在Ｒ上严格递减。 奇函数和偶函数 定义４. 设Ｄ为对称于原点的数集，为定义在Ｄ上的函数。若对每一个有（１），则称为Ｄ上的奇函数；（２），则称为Ｄ上的偶函数。 注：（１）从函数图形上看，奇函数的图象关于??点对称（中心对称），偶函数的图象关于轴对称；（２）奇偶性的前提是定义域对称，因此没有必要讨论奇偶性。 （３）从奇偶性角度对函数分类：； （４）由于奇偶函数对称性的特点，研究奇偶函数性质时，只须讨论原点的左边或右边即可。 周期函数 定义 设为定义在数集Ｄ上的函数，若存在，使得对一切有，则称为周期函数，称为的一个周期。 几点说明： （1）若是的周期，则也是的周期，所以周期若存在，则不唯一。如。因此有如下“基本周期”的说法，即若在周期函数的所有周期中有一个最小的周期，则称此最小周期为的“基本周期”，简称“周期”。如，周期为；（2）任给一个函数不一定存在周期，既使存在周期也不一定有基本周期，如：１），不是周期函数；２）（Ｃ为常数），任何正数都是它的周期。