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实验七 常微分方程 【实验目的】 1.了解常微分方程的基本概念。 2.了解常微分方程的解析解。 3.了解常微分方程的数值解。 4. 学习、掌握MATLAB软件有关的命令。 【实验内容】 如下图所示，一根长l的无弹性细线，一端固定，另一端悬挂一个质量为m的小球。在重力的作用下小球处于平衡位置。若使小球偏离平衡位置一定角度θ，放开它，它就会沿圆弧摆动。在不考虑空气阻力的情况下，小球会做一定周期的简谐运动。利用牛顿第二定理得到如下的微分方程 问该微分方程是线性还是非线性的？是否存在解析解？如果不存在解析解，能否求出其近似解？ θ 【实验准备】 1.微分方程的概念 2.常微分方程的解析解 3.微分方程的数值解法 4.解微分方程的MATLAB命令 MATLAB中主要用dsolve求符号解析解，ode45,ode23,ode15s求数值解。 matlab求解微分方程命令dsolve，调用格式为： dsolve(‘微分方程’)给出微分方程的解析解，表示为t的函数. dsolve(‘微分方程’，‘初始条件’)给出微分方程初值问题的解，表示为t的函数. dsolve(‘微分方程’，‘变量x’)给出微分方程的解析解，表示为x的函数. dsolve(‘微分方程’，‘初始条件’，‘变量x’)给出微分方程初值问题的解，表示为x的函数. 【实验重点】 1.常微分方程的解析解与数值解的计算 【实验难点】 1.常微分方程的解析解与数值解的计算 【实验方法与步骤】 练习1 求下列微分方程的解析解。 （1） （2） （3） 方程（1）求解的MATLAB代码为 clear s=dsolve(dy=a*y+b) 结果为 s=-b/a+exp(a*t)*C1 方程（2）求解的MATLAB代码为 clear s=dsolve(d2y=2*x-y),y(0)=0,dy(0)=1,x) simplify(s) %以最简形式显示s 结果为 s=(-1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x))*sin(x)+(-1/2*sin(x))+sin(3*x))*cos(x)+5/3*sin(x) ans=-2/3*sin(x)*cos(x)+5/3*sin(x) 方程（3）求解的MATLAB代码为 clear s=dsolve(df=f+g,dg=g-f,f(0)=1,g(0)=1) simplify(s.f) %s是一个结构 simplify(s.g) 结果为 ans=exp(t)*cos(t)+exp(t)*sin(t) ans=exp(t)*sin(t)+exp(t)*cos(t) 练习2 求解微分方程 先求解析解，再求数值解，并进行比较。由 close s=dsolve(dy=y+t+1,y(0)=1,t) simplify(s) 可得解析解为。下面再求其数值解，先编写M文件fun8.m %m函数fun8.m function f=fun8(t,y) f=y+t+1; 再运行相应的MATLAB代码： clear;close;t=0:0.1:1; y=t+exp(-t);plot(t,y);%化解解析的图形 hold on; %保留已经画好的图形，如果下面再画图，两个图形合并在一起 [t,y]=ode45(fun8,[0,1],1]; plot(t,y,ro); %画数值图形，用红色小圈画 xlabel(t),ylabel(y) 运行结果见图7.2。 图7.2 由图7.2可见，解析解和数值解吻合地很好。 【练习与思考】 1. 求下列微分方程的解析解。 a)一阶线性方程； b)贝努利方程； c)高阶线性齐次方程。 2.求方程 的解析解和数值解，并进行比较。