~~高数学C十讲.docVIP

PAGE  第  PAGE 9 页 共 9页 教学内容 1.矩阵概念： N阶方阵，行矩阵，单位矩阵，零矩阵，线性方程组的系数矩阵和增广矩阵 2.矩阵的初等变换有下列三种： 1）互换矩阵的两行 2）把某一行（列）同乘（除）以一个非零的常数 3）某一行（列）乘以一个非零常数后加到矩阵的另一行（列） 3.矩阵的相等： 设A=，B=，则A=B，（i=1，2，···m；j=1，2，···n） 4.矩阵的加减法： 定义 设，是两个mn矩阵，则称矩阵 C = 为A与B的和，记作 C = A + B = （由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) = 称D为A与B的差. 矩阵加法满足的运算规则 设A, B, C, O都是mn矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A； 4. 存在矩阵-A，满足：A -A = A + (-A ) = O . 5．数与矩阵的乘法： 定义 设矩阵，为任意实数，则称矩阵为数与矩阵A的数乘，其中，记为 C =A （由定义2.4可知，数乘一个矩阵A，需要用数去乘矩阵A的每一个元素.特别地，当 = -1时，A = -A，得到A的负矩阵.） 数乘矩阵满足的运算规则 对数k , l和矩阵A = ，B =满足以下运算规则： 1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB； 2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA； 3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ； 4. 数1与矩阵满足： 1A = A. 6.矩阵的乘法： 设A=是一个ms矩阵，B=是一个sn矩阵，则称mn矩阵C =为矩阵A与B的乘积，记作 C = AB.其中cij = ai1b1 j + ai2b2 j + … + ai s bs j = (= 1, 2, …, m；j = 1, 2, …, n ). (1) 只有当左矩阵A的列数等于右矩阵B的行数时，A, B才能作乘法运算AB； (2) 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A的行数，它的列数等于右矩阵B的列数； (3) 乘积矩阵AB中的第行第j列的元素等于A的第行元素与B的第j列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则. 矩阵乘法满足运算规则 矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB）C = A（BC）； 2. 左乘分配律：A（B + C） = AB + AC； 右乘分配律：（B + C）A = BA + CA； 3. 数乘结合律：k（AB）= （k A）B = A（k B），其中k是一个常数. 7.二阶、三阶行列式 行列式是代数式的简要记号，如 （1.1） （1.2） 注意:行列式的计算结果是一个数。 8.余子式及代数余子式概念： 9.行列式的性质： 把行列式的各行变为相应各列（称行列转置）时，行列式的值不变。 把行列式的两行（或两列）对调，所得行列式原行列式绝对值相等，符号相反。 把行列式的某一行（或某列）的所有元素同乘以某个数k，等于用数k乘以原行列式。 如果行列式的某一行（或列）的元素都拆成前后两项，那么这个行列式的值等于分别取前项、后项为此行（或列）而其余行（或列）不变的两个行列式的和。 如果行列式某两行（或两列）的对应元素都相等，那么这个行列式的值必等于零。 10.用行列式解方程组： 11.三角形面积公式： 在直角坐标系中，若不在一直线上的三点、、的坐标分别为、、，则三角形的面积可以表示为. 基础练习 1.已知一个关于的二元线性方程组的增广