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PAGE   PAGE \* MERGEFORMAT 4  PAGE \* MERGEFORMAT 1 2011年研究生入学考试数学模拟试题 数学二　模拟试题（一）-线代部分 一、选择题 (7) 已知向量组?1=(a2,1,a),?2=(3a-2,1,2a-1),?3=(1,1,1),r(?1,?2,?3)=2,a=（ ）. (A)-1. (B)1或1/2. (C) 1/2. (D) 1. 解 (C). r(?1,?2,?3)=2,则|?1,?2,?3|=0.而|?1,?2,?3|=(a-1)2(1-2a), |?1,?2,?3|=0?a=1或1/2.a=1时r(?1,?2,?3)=1,排除. (8) 设A,B,C,D都是n阶矩阵,满足ABCBD=E,则? (A) DABC= CBDA. (B) (BCB)-1=AD . (C) ABC=BD. (D) A-1B-1C-1B-1D-1=E. 解 (A). 由 ABCBD=E,得足DABCB=E和足BCBDA=E,这两个等式说明DABC和CBDA都是B的逆矩阵,因此相等. (B) 错. 应该(BCB)-1=DA . (C) 错. 应该ABC=(BD)-1. (D) 错. 应该 D-1B-1C-1B-1A-1 =E. 二、填空题 (14) 设?=(1,2,1)T,??=(0,1,1)T, A=E-2??T.则A的特征值为 , , . 解 1,1,-5. 矩阵??T的的特征值为0,0,??T?=3, A是??T的多项式,形式为1-2x,则A的特征值为1,1,-5. 三、解答题 (22) 设?1,?2,?3都是矩阵A的特征向量,特征值两两不同,?记??=??1+?2+?3. (1)证明?,A?,A2? 线性无关, ?,A?,A2?,A3?线性相关. (2)设?1,?2,?3的特征值依次为1,-1,2,记矩阵B=(?,A?,A2?),?=A3?,求解线性方程组BX=?. 解 (1) 设?1,?2,?3的特征值为a,b,c,由于它们两两不同,??1,?2,?3线性无关, ??=??1+?2+?3, A?=a?1+b?2+c?3, A2?= a2?1+b2?2+c2?3, A3?= a3?1+b3?2+c3?3, 则 1 a a2 ?,A?,A2? 对?1,?2,?3的表示矩阵为 1 b b2 ,其行列式为范德蒙行列式, 并且因为 1 c c2 a,b,c两两不同,值不为0,因此?,A?,A2? 无关. ?,A?,A2?,A3?可以用?1,?2,?3线性表示,因此线性相关. (2) ??=??1+?2+?3, A?=?1-?2+2?3, A2?=?1+??2+4?3, A3?= ?1-?2+8?3, 1 1 1 1 B=(?,A?,A2?)=(?1,?2,?3) 1 -1 1 , ?=A3?=(?1,?2,?3) -1 , 1 2 4 8 则BX=?具体写出就是 1 1 1 1 (?1,?2,?3) 1 -1 1 X=(?1,?2,?3) -1 , 1 2 4 8 由于?1,?2,?3线性无???, 它和 1 1 1 1 1 -1 2 X= -1 , 1 1 4 8 同解.解此方程组得唯一解(-2,1,2)T. (23)设(Ⅰ)和(Ⅱ)是两个四元齐次线性方程组.已知?1,?2,?3是(Ⅰ)的一个基础解系,??1,?2是 (Ⅱ) 的一个基础解系．  = 1 \* GB3 ① 证明(Ⅰ)和(Ⅱ)有公共非零解.  = 2 \* GB3 ②?设?1=(1,0,1,1)T,?2=(-1,0,1,0)T,?3=(0,1,1,0)T,?1=(0,1,0,1)T,?2=(1,1,-1,0)T 求, (Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解． 解  = 1 \* GB3 ① ?1,?2,?3,?1,?2是5个4维向量,线性相关,存